浅谈矩阵的lu分解和qr分解及其应用

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1、浅谈矩阵的厶〃分解和0/?分解及其应用基于理论研究和计算的需要，往往有必要把矩阵分解为具有某种特性的矩阵之积，这就是我们所说的矩阵分解.木文将介绍两种常用的矩阵分解方法，以及其在解线性方程组及求矩阵特征值中的应用.1•矩阵的少分解及其在解线性方程组中的应用1.1高斯消元法通过学习，我们了解到利用消去法及其一些变形是解决低阶稠密矩阵方程组的有效方法•并且近些年来利用此类方法求具有较大型稀疏矩阵也取得了较大进展•下面我们就通过介绍消去法，从而引出矩阵的厶"分解及讨论其对解线性方程组的优越性.首先通过一个例子引入：(1.1)例1,解方程组(1.

2、2)(1-3)解.Stepi(l.l)x(-2)+(1.3)消去(1.3)中未知数，得到(一2)+—4兀2_兀3=—11(1-4)Shepl.(1.2)+(1.4)消去(1.4)中的未知数勺•石+兀2+兀3=6<1>有《4召-禺=5显然方程组的解为X*=2上述过程相当于—2无=~6/(1116、q116><1116〕04-1504-1504-15<2-21］丿<0-4-1一1丿<00-2一6丿(%表示矩阵的i行)由此看出，消去法的棊本思想是：用逐次消去未知数的方法把原方程化为与其等价的三角方程组.下面介绍解一般“阶线性方程组的Gauss

3、消去法.…气、/设A=•••••••••X=■■■b=■■■则〃阶线性方程组S…°心S丿AX=b(1.5)并UA为非奇异矩阵.通过归纳法可以将AX=5化为与其等价的三角形方程，事实上：及方程(1.5)为A⑴X=b⑴，其中(1)设首先对行计算乘数％：产吗;•用—叫乘(1.5)的第一个方程加到第(1.6)(1.7)(心2,3,・・・屮)个方程上•消去方程(1.5)的第2个方程直到第n个方程的未知数石.■■⑴、…血••••Z、兀1■■划)、••■<0••(2)…Q二nn/■■简记作屮)"⑵得到与(1.5)等价的方程组其中即=即-叫婷切⑵=切⑴

4、-®⑵一般第k{

5、利用数学归纳法证明引理的充分性•显然，当^=l时引理的充分性")是成立的，现在假设引理对£-1是成立的，求证引理对比亦成立•有归纳法，设4；工0（,=1,2…£-1）于是可用Gauss消去法将中，即需）龙）…盅）…卅)‘nn/Dk=苗）出）盗）(1.8)由设0工0（心1,…，灯及式（1.8）有成）工0显然，由假设岀）北0（心1,2…利用（1.8）亦可以推出9北0（心1,…，灯从而由此前的分析易得；定理1如果n阶矩阵4的所有顺序主子式均不为零，则可通过Gg的$消去法（不进行交换两行的初等变换），将方程组（1.5）约化成上三角方程组，即/叮

6、乜）、■■兀2■•—■•■何此丿•申丿■(1.9)1.2矩阵厶U分解从而由以上讨论即能引出矩阵的厶U分解，通过高等代数我们得知对A施行行初等变换相当于用初等矩阵左乘A,即厶A⑴二人⑵厶於）=/畀）其中<1_加211一％一般第£步消元，，相当于=b{k+}](1.10)LkAw=A（U1）重复这一过程，最后得到仏一…厶厶A⑴=川）上…L2L^=bM其屮~mM,k1将上三角形矩阵A何记作U,由式（1.9）得到…U=厶（7,其中由以上分析得;y.=定理2（LU分解）设4为“阶矩阵,1••••••%…b如果4的顺序主子式Q工0（心1,2,/-1）

7、.则A可分解为一个单位下三角矩阵厶和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的.证明由先前的分析得出存在性是显然的，即人=厶卩•下证唯一性，设A=LU=CD其中厶，C为单位下三角矩阵，U,D为上三角矩阵•由于Lc=ud—'上式右端为上三角矩阵，左端为单位下三角矩阵，从而上式两端都必须等于单位矩阵，故U=D,L=C.证毕.‘11-1由Gauss消去法，得1丿例2对于例子1系数矩阵矩阵A=04〔2-2结合例1,故<100、11)A=LU=01004-1-11丿、00一2丿对于一般的非奇异矩阵，我们可以利用初等排列矩阵抵（由交换单位矩阵/的第比

8、行与第〈行得到），即(1.H)'厶心刘）=川）,厶如0=沪）利用（1.11）得—需（厶/肿=0）={/・简记做•其中下面就n情况来考察一下矩阵.A=屮）=叩丿人山付厶人.人=d（仏厶鼻）（仏S