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1、第30卷第1期兰州理工大学学报Vol.30No.12004年2月JournalofLanzhouUniversityofTechnologyFeb.2004文章编号:1000-5889(2004)01-0116-04广义Vandermonde矩阵及其LU分解杨胜良(兰州理工大学理学院,甘肃兰州730050)摘要:利用对称函数引入了两种广义Vandermonde矩阵,讨论了Vandermonde矩阵与广义Vandermonde矩阵之间的关系,并得到了广义Vandermonde矩阵的LU分解.关键词:Vandermonde矩阵;广义Vandermonde矩阵;初等对称函
2、数;完全对称函数中图分类号:O151.21文献标识码:AGeneralizedVandermondematricesandtheirLUfactorizationYANGSheng-liang(SchoolofScience,LanzhouUniv.ofTech.,Lanzhou730050,China)Abstract:Usingelementarysymmetricfunctionandcompletesymmetricfunction,twokindsgeneralizedVandermondematricesareintroduced.Therelation
3、shipbetweenVandermondematricesandthegeneralizedVandermondematricesisdiscussed,andtheLUfactorizationofthegeneralizedVandermondematricesisobtained.Keywords:Vandermondematrix;generalizedVandermondematrix;elementarysymmetricfunction;completesymmet-ricfunctionVandermonde矩阵在近似计算和插值问题中有且R0(x0
4、,x1,,,xn)=1,S0=(x0,x1,,,xn)=1.重要的应用.近年来,以Vandermonde矩阵V为系数容易证明,初等对称函数和完全对称函数满足[1~4]以下递推关系[5]:矩阵的线性方程组的解法引起了广泛的关注.在文[5]中,利用插值理论和生成函数给出了Van-Rr(x0,x1,,,xn)=Rr(x0,x1,,,xn-1)+dermonde矩阵的LU分解.本文利用对称函数引入了xnRr-1(x0,x1,,,xn-1)(3)一种广义Vandermonde矩阵,讨论了Vandermonde矩Sr(x0,x1,,,xn)=Sr(x0,x1,,,xn-1)+阵
5、与广义Vandermonde矩阵之间的关系以及广义xnSr-1(x0,x1,,,xn)(4)Vandermonde矩阵的LU分解.设Rn[x]是实数域R上未定元x的次数小于等于n的多项式组成的向量空间,x0,x1,,,xn-1是1初等对称函数和完全对称函数2n任意实数,则B1={1,x,x,,,x}与B2={[x]0,设n是正整数.对正整数r[(n+1),关于未定[x]1,,,[x]n}都是Rn[x]的基,这里[x]r=(x-元x0,x1,,,xn的r次初等对称函数定义为x0)(x-x1),(x-xr-1),1[r[n;[x]0=1.关于这Rr(x0,x1,,,xn
6、)=Exkxk,xk(1)两组基的关系,有:12r0[k
7、1且第1期杨胜良等:广义Vandermonde矩阵及其LU分解#117#mmm-kk[x]m=E(-1)Rm-k(x0,x1,,,xm-1)xE(Sm-k+1(x0,x1,,,xk-1)+k=0k=1则xkSm-k(x0,x1,,,xk))[x]k=[x]m+1=[x]m(x-xm)=x[x]m-xm[x]m=mmm-kkSm+1(x0)+ESm-k+1(x0,x1,,,xk)[x]k+xE(-1)Rm-k(x0,x1,,,xm-1)x-k=1k=0mS0(x0,x1,,,xm+1)[x]m+1=m-kkxmE(-1)Rm-k(x0,x1,,,xm-1)x=m+
