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1、Vandermonde矩阵及其变形矩阵的快速求逆格式(修改稿)叶贻才(福建师大数计学院)摘要导出在实算中颇具实用的关于-阵及其变形矩阵的一种快速求逆格式，.算术运算量为，,算法格式紧凑、简便，并给出具体算例。关键词-阵，变形矩阵，逆阵，反递推关系Vandermonde矩阵（简称-阵）以及它的变形矩阵是实际计算中一类结构特殊的著名的常见矩阵，关于-阵求逆问题的探讨，早为人们所关注。50年代以来，有关这方面的研究文章相继出现（如文〔1~3〕等）。如所知,矩阵求逆,按一般计算是很繁难的(尤其是高阶矩阵)。本文借助于V-阵与多项式之间的密切联系，直观地导出V-阵的一种简易快速求逆算式。其
2、运算量为（这里记号[2]M和A分别代表一次乘（除）法和一次加（减）法），较通常求逆算法所需运算量低了一个数量级。本文利用导出的V之逆阵的分解阵及阵中各未知元的逐个推算,从而求得,本算法无论用于人工手算(极具可操作性)或编程机算都很简便。1算法的构成任取一组互异实数{},可构造一个实系数首1多项式：(1)将视为实变量的函数，并记其偏导数为,有(s=1,2,…,).(2)注意到有(3)其中s,=1,2,…,.引入记号(4)及(4)′这里(=1,2,…,)是在处的导数。可将（3）式写成按已知算式当≠(≠)时阵皆可逆，且(5)下面给出如何计算矩阵（它是一个转置的Jacobi矩阵）的各元素
3、的途径。对任取的一组互异实数{，，…，}，再构造一组相关多项式如下：(1)′当=时即多项式（1），比较（1）′两边系数,可得以下递推关系式:(=2,3,…,;=,-1,…,1).(6)注：(6)是韦达（Viete）定理的递推形式.引理1(=2,3,…,;,-1,…,0)关于每个(=1,2,…,)是对称的(即交换任意两个和,值不变).证因交换任意两个和(≠),其结果只是改变(1)′中右边两乘积因子的顺序,积不变,值也不变,得证.记为由{,…,…,}(,…,1)递推算得的结果.于是,按引理1，递推式(6)可改写成为：(=2,3,…,…,1)(7)(…,1).(7)′引理2设(,…,1
4、)为由数组,{,…,…,}(,…,1)按递推式(7)算得的值,则阵可以写成:(8)证由递推关系(7)′,求关于的偏导数,有(,…,1),代入（4）的阵,立得（8）。证毕。定理1对任取的一组互异实数{,…,},Vandermonde矩阵的逆矩阵可以表示为的形式。即（9）其中（=1,2,…,）,而（,…,1;,…,1）为先对整组{,…,}，从递推式（6），即（=2,3,…,;,…,1）.(6)求得，即(…,1).然后对数组{…,…,},(,…,1)从以下反递推关系求出数据：（…,1;…,2）.(10)证综合（4）′、（8）及（5）三式，就有（9）式成立。证毕。注：使用与定理1相同的条
5、件和递推关系，可得求算阵的变形矩阵的求逆算式诸如,推论1，即1求逆算法的运算量(略)和算例例给定数组{2,3,-5,7,-10},求由它构成的阵的逆阵.解形成中各对角元:算出.其中形成中各元:先按(6)算然后按(10)式算出中各元(参见下式在阵旁标出的箭头、数据，它们示意按（10）逐行推算各元的顺序、规则)。最后得逆阵的表示式：计算结果与机算雷同,且易验证V·=I(单位矩阵)参考文献[1]MaconN,SpitzbartA.InversesofVandermondematrices.Amer.Math.Monthly,1958(65):95～100[2]BjorckA,Perey
6、raV.SolutionofVandermondesystemsofequations.Math.Comp.,1970(24):893～903[3]PanV.Oncomputationswithdensestructuredmatrices.Math.Comp.,1990(55):179～190[4]游兆永，线性代数与多项式的快速算法。上海：上海科技出版社，1980。ASchemeofthefastalgorithmforFindingtheInversesofVandermondeMarticesandtheirDeformedMarticesYeYicai(Departmen
7、tofComputerScience)AbstractIntroducesaschemeofthefastalgorithmforfindingtheinversesofVandermondematricesandtheirdeformedmatrices.Thealgorithmoperandrequiredis.Theschemeisquitecompactandhandy.Moreover,aconcereteexampleillustratingthepresentalg
