总结求矩阵的逆矩阵的方法

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1、总结求矩阵的逆矩阵的方法课程名称：专业班级：成员组成：联系方式：摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.关键词：矩阵逆矩阵方法MethodoffindinginversematrixAbstract:Matrixinlinearalgebraisthemaincontent,manypricticalproblemswiththematrixtheoryissimpleandfast.Theinversema

2、trixandmatrixtheorytheimportantcontent,thesolutionofinversematrixnaturehasbecomeoneofthemainresearchcontentsoflinearalgebra.Thepaperwillgivesomemethodoffindinginversematrix.Keywords:Matrixinversematrixmethod正文：1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代

3、数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.2.求矩阵的逆矩阵的方法总结：2.1矩阵的基本概念矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付

4、对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，用表示数域上的阶方阵构成的集合。2.2求逆矩阵的方法：1.利用定义求逆矩阵定义:设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1　求证:如果方阵A满足Ak=0,那么EA是可逆矩阵,且（E-A）=E+A+A+…+A证明因为E与A可以交

5、换,所以(E-A)(E+A+A+…+A)=E-A,因A=0,于是得　(E-A)（E+A+A+…+A）=E，同理可得（E+A+A+…+A）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)=E+A+A+…+A.同理可以证明(E+A)也可逆,且(E+A)=E-A+A+…+（-1）A.由此可知,只要满足A=0，就可以利用此题求出一类矩阵EA的逆矩阵.例2　设　A=,求E-A的逆矩阵.分析由于A中有许多元素为零,考虑A是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.解容易验证A=，A=，A=0而　(E-A)(E+A+A+A)=E,所以(E-A)=E

6、+A+A+A=.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）A=I，用A右乘上式两端，得：（2）I=A比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A.用矩阵表示（AI）为（IA），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1求矩阵A的逆矩阵.已知A=.解[AI]故A=.在事先不知道n阶矩阵是否可逆的

7、情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆，因为此时表明=0，则A不存在.例2求A=.解[AE]=.由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3.伴随阵法定理n阶矩阵A=[a]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A=其中A是中元素a的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A，于是有A=A.证明必要性：设A可逆，由AA=I，有=，则=，所以0，即A为非奇异.充分性：设A为非奇异，存在矩阵B=，其中AB====I同理可证BA=I.由此可知，若A可逆，则A=A.用此方法求逆矩阵，对于小型矩

8、阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵