大型矩阵快速求逆算法的研究

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1、说明书矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。并且矩阵作为数学工具之一有其重要的使用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握。在矩阵的运算和应用中，仅逆矩阵的求解方法及算法问题就值得我们去好好研究，尤其是对大型矩阵的逆矩阵的研究。近年来，随着互联网的高速发展，计算机内部的运算量也急剧增加，如何把浩瀚的数据准确地计算出结果，并且加快它的计算速度，己成为一个备受关注的研究课题。随着计算机应用领域的发展，

2、逆矩阵运算的需求越来越大。现阶段大型逆矩阵运算都是由软件实现，如Matlab等数学软件。逆矩阵运算软件的普及，将使计算机的逆矩阵运算性能得到几何级数的提高。伴随矩阵作、初等变换等算法作为逆矩阵运算的一个重要组成部分，对其研究的意义也就很大。我们所做的研究方向，仅是利用Matlab数学软件和我们所学到的求逆矩阵的知识编写几种求逆矩阵的算法。为了使内容更完整充实，文中列举了几种基本的求逆矩阵的方法以及整理了一些特殊矩阵求逆的一些简便方法等。最后简要说明了一般矩阵的广义逆矩阵。由于考虑自身学识的不足，我们并未对广义逆矩阵做详细的展开。希望有兴趣的读者能自己探索。29大型矩阵快速求逆算法的研究信息09

3、本耀魂雨29大型矩阵快速求逆算法的研究本文首先介绍了逆矩阵的定义以及逆矩阵的相关性质。其次，根据逆矩阵的相关理论主要介绍了矩阵求逆的几种常用方法。如定义法、伴随矩阵法、初等变换法、三角分解法、分块矩阵法等,并运用软件matlab7.0对一些方法实现了程序化。且通过多次检验证明了所编程序的正确性。文章最后简要阐述了对一些特殊矩阵的求逆算法（如对称正定矩阵、有理矩阵），还有针对一般矩阵的广义逆矩阵的作了浅层次的探究。本文的相关研究不仅对提高矩阵求逆的速度和准确度起着较为重要的作用。而且对逆矩阵应用的进一步发展有着深远的意义。关键词：逆矩阵求逆算法Matlab7.0广义矩阵逆矩阵的定义：对于n阶方阵

4、A，如果有一个n阶方阵B，使AB=BA=E，则说方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的逆矩阵（其中只有方阵才有逆矩阵的概念）。矩阵可逆的条件：定理1若方阵A可逆，则A的行列式不等于0。定理2若A的行列式不等于0，则A可逆，且故，求逆矩阵可以用逆矩阵的定义来求或者利用求伴随矩阵法的方法，还可以用行初等变换法（本文仅以行初等变换为例）、矩阵的三角分解、矩阵分块等方法求得逆矩阵。一、五种基本求逆矩阵的方法291.1定义法求逆矩阵用一个例子来解释定义法求逆矩阵的方法：例：求矩阵A的逆矩阵，其中解：因为，所以存在.设=，由定义知,所以.由矩阵乘法得.由矩阵相等可解得故1.2伴随矩阵求逆矩阵（附算法）29用求

5、伴随矩阵的方法求逆矩阵的原理分析如下：设A=()为n阶矩阵，为

6、A

7、中元素的代数余子式,(i,j=1,2,…,n),则称矩阵÷÷÷÷÷øöçççççèæ=nnnnnnAAAAAAAAAALLLLLLLL212221212111*为A的伴随矩阵。根据上述定理2:若A的行列式不等于0,则A可逆，且,1.3初等变换法求逆矩阵（附算法）用初等变换法的方法求逆矩阵的原理分析如下：引理1.3.1对mxn阶矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。公理1.3.1初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。推论1.3.1A

8、可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即推论1.3.2A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E)，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么29（2）由（1）式代入（2）式左边，有上式说明分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置变换为我们所要求的,即1.4三角分解求逆矩阵（附算法）直接可以得到29从此方法把A矩阵进行LU分解，并得到A的逆矩阵。1.5分块矩阵法求逆此方法可将阶数较高的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简化1、利用分块矩阵的乘法，求可逆矩阵的逆阵.设分块矩阵其中A，C均可逆，求解：令

9、，于是有可得所以，从而2、利用分块矩阵的初等变换，降阶求逆定理1.5.1设A和B分别是可逆矩阵，C是k×r矩阵，D是r×k矩阵,“可逆”或“可逆”,则矩阵可逆。上例说明定理3可以应用到任何阶(奇数阶或偶数阶)可逆矩阵的求逆问题中。通常它使2n阶可逆阵的求逆问题转化为一些n阶可逆阵的求逆问题，而使2m+1阶可逆阵的求逆问题转化为一些m阶和一些m+1阶可逆阵的求逆问题，从而使计算的难度降低。因而这种求