第十一讲矩阵的qr分解

《第十一讲矩阵的qr分解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第十一讲矩阵的QR分解1一．Givens矩阵与Givens变换221．定义：设实数c与s满足cs+=1，称11csi←()11−←sc()jT＝1ij1(ij<)2为Givens矩阵（初等旋转矩阵），也记作TTcs=(,)。由Givens矩阵ijij所确定的线性变换称为Givens变换（初等旋转变换）。22说明：（1）实数cs+=1，故存在θ，使cs=cos(),θθ=sin()。（2）yTx=中T确定了将向量x变成y的一种变换，正是Givens

2、ijijcos()θθsin()变换。二阶情况下，yx=确定的正是平面直角坐−sin()cos()θθ标系中绕原点的一个旋转变换（旋转θ度）。（3）以上实Givens矩阵也可推广称为复初等旋转矩阵。311jjθθce12se←()i1Uik=1−sejθ3cejθ4←()k11422其中c与s仍为满足cs+=1的实数，θθθθ,,,为实角度。1234显然，det(U)=ce22j()θθ14++sej()θθ23+ikj()θθ1

3、4+当θθθθ+=+时，det(Ue)=1423ik当θθθθ+=+=2nπ时，det(U)1=1423ik2.性质−1T（1）Tcs(,)=Tcs(,)=Tcs(,)−,−=−ssin()θθ=sin(−),ijijij旋转θ度再反向旋转度θdetTcs(,)=1ijTT（2）设x=[ξξξ]，yTx==[ηηη]，则有12nij12n5ηξξ=cs+iijηξξ=−+scjijηξ=(kij≠,)kk22ξiξj当ξξ+≠0时，总可以选c=，s=使ij2222ξξ+ξξ+ijij

4、ηξξ=22+Tiij→=Txξξξξ22+0ξij12ijnη=0jT定理1.设x=[ξξξ]≠0，则存在有限个Givens矩阵的乘12n积T，使得Tx=xe162TH说明：（1）x=x=xx(x为实数时)，x=xx（x为复数2时）。T（2）e=[1000]1[证明]：ξ≠0的情形1ξξ12（1）构造Tcsc(,):=,s=122222ξξ++ξξ1212T22Tx=ξξ+0ξξξ121234n（2）对Tx再考虑12722ξξ+ξ123（3）Tcsc(,):=,s=13222222ξξ

5、ξ++ξξξ++123123T222TTx=ξξξ++00ξξ13121234n（4）依此类推，构造22ξξ++ξ1kkTcsc(,):=,s=1k222222ξξ+++ξξξ+++ξ12kk12(k=2,3,…..n)8TT1kk1−−1{T1k2TTx13(12)}T=ξξ22+++ξ2000ξξ12kkn+1直至k=n。令TTTTT=，则有1nn1−112T222Tx=ξξξ++000=xe12n1ξ=0的情形,从第一个不为零的ξ开始运用上述方法即可1in推论：对

6、于任何非零列向量xR∈及任何单位列向量zz(=1)，均存在着有限个Givens矩阵的乘积T，使Tx=xz。(1)(1)(1)[证明]：由上述定理，对x存在有限个Givens矩阵TT,,,T的12131n乘积9(1)(1)(1)(1)(1)(1)T=TTTT，使Txxe=1nn1−113121(2)(2)(2)对z同理存在有限个Givens矩阵TT,,,T的乘积12131n(2)(2)(2)(2)(2)(2)T=TTTT，使Tzzee==1nn1−1131211−1(1)(2)(2)(2)(1)TxxTzT==()x

7、z→=(T)Txxz即，−1(2)(2)(2)(1)(1)(1)⇒=(T1nnTTT1−−112)(1nnTTxx1112)z其中10−1(2)(2)(2)(1)(1)(1)(T1nnTTT1−−112)(1nnTT1112)−−11−1(2)(2)(2)(1)(1)(1)=(T12)(T13)(T1n)TT1nn1−1T12TTT(2)(2)(2)(1)(1)(1)=(T12)(T13)(T1n)TT1nn1−1T12为有限个Givens矩阵的乘积。二、Householder矩阵与Householder变

8、换ξ(e)22(ξ,ξ)12ξ(e)11(ξ,−ξ)1211T平面直角坐标系中，将向量x=[ξξ]关于e轴作镜像变换，则121得到ξξ1110Ty===(I−=2ee22)xHx−ξξ01−22一般地，可将其推广nT1.定义：设单位列向量uR∈，称H=−I2uu为Ho