矩阵分解及其应用

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1、96《矩阵论》课程论文题目：矩阵分解及其应用学院专业学号姓名任课老师电话电子科学与工程学院电子与通信工程1216022708李影赵礼峰15005185697摘要：本文主要归纳和总结了代数学中的矩阵分解理论及理论应用。根据本学期所学知识，本文把矩阵分解分为三角分解、正交三角分解、奇异值分解和满秩分解。在论文中对相关理论进行了简要的说明与描述，并在应用方面，展示了矩阵分解在一些常见领域的重要以及广泛的应用。关键词：矩阵分解，应用，三角分解，满秩分解，奇异值分解。一、引言在有限维线性空间中，线性变换问题可以转化为矩阵问题进行讨论。因此，将一个矩阵分解为若干个特殊矩阵的乘积意味着将一个线性

2、变换分解为若干个特殊线性变换的乘积。矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解及奇异值分解是将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积，这些分解式能够明显的反映出原矩阵的许多数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等。另一方面，构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供理论依据。矩阵的分解给予了我们将线性变换转化成矩阵问题讨论的方法，将以往复杂而且性质不“好”的矩阵分解成为大家所熟知并且性质“好”的常用矩阵的乘积。通过对常用矩阵的分析获取复杂矩阵的相关性质，这在实际的应用中也具有很大的意义。二、矩阵分解简介1.矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵

3、L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU，则称A可作三角分解。矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0，即.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU的分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle分解和Crout分解，它们用待定系数法来解求A的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。1)矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=

4、b。由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LUx=b，即有如下方程组：先由依次递推求得,,……，，再由方程依次递推求得，，……，.必须指出的是，当可逆矩阵A不满足时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。1.矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。下面介绍一下比较经典的Givens方法与Householde

5、r方法。1)Givens方法的QR分解Givens方法求QR分解是利用旋转初等矩阵，即Givens矩阵来得到的，是正交矩阵，并且。的第i行第i列和第j行第j列为，第i行第j列和第j行第i列分别为和，其他的都为0.任何n阶实非奇异矩阵A可通过左连乘矩阵（乘积为T）化为上三角矩阵R，另Q=T-，就有A=QR。2)Householder方法的QR分解Householder方法分解矩阵是利用反射矩阵，即Householder矩阵，其中u是单位列向量，H是正交矩阵，。可以证明，两个H矩阵的乘积就是Givens矩阵，并且任何实非奇异矩阵A可通过连乘Householder矩阵（乘积为S）化为上三

6、角矩阵R，则A=QR。这种方法首要的就是寻找合适的单位列向量去构成矩阵H，过程和Givens方法基本相似，但是计算量要小一些。2.满秩分解满秩分解也称最大秩分解，前面的QR分解是面对n阶矩阵的，而满秩分解可以处理长方阵。满秩分解是指，把秩为r的矩阵A分解成A=FG，其中F是秩为r的阶矩阵，G是秩为r的阶矩阵。满秩矩阵的解求可以通过初等变换法，但是必须经过多次求逆，所以就利用Hermite行标准形来完成。把矩阵A经过变换成为Hermite行标准形B，B的列为单位矩阵的前r列，另A的第列为矩阵F，B的前r行为矩阵G，则有A=FG。1.奇异值分解矩阵的奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵

7、分解，在最优化问题、特征值问题、最小二乘问题和广义逆问题及统计学问题中都有重要的应用。对秩为r的阶矩阵A进行奇异值分解的步骤是：1).求得的特征值，及对应的特征向量并正交单位化，得矩阵V，使得；2).将V的前r列作为，令，再扩张成m阶的矩阵U；3).那么。从计算过程中可以看出，矩阵的奇异值分解解求是由矩阵的特征值开始的，因此这种分解自然和特征值的问题有莫大联系的。三、矩阵分解主要应用矩阵的分解还有很多的应用，比如可以用来求矩阵的秩，对于阶数偏大的矩阵，即使用初等变换的