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1、毕业论文题目矩阵分解的研究与应用学生姓名刘佳佳学号0709014033所曲完（系数学系专业班级数学与应用数学专业2007级1班指导教师程小静2011年4月28日矩阵分解的研究及应用刘佳佳（陕西理工学院数学系数学与应用数学专业071班陕西汉中723000）指导教师：程小静［摘要］本文首先从特征值分解，秩分解，QR分解，和分解这四部分内容分别来阐述矩阵一些很常见的分解，最后举例说明矩阵分解的应用［关键词］矩阵分解正定矩阵可逆矩阵特征值分解秩分解QR分解和分解引言关于矩阵分解的形式在很多文献里面已经提到，但対于这个问题的分析各不相同。本文从特征值分解，秩分解，QR分解，和分解这
2、四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子來说明矩阵分解在实际应用中的重要性。*1T,其中不…人为矩阵A的一、特征值分解定义1任意72阶矩阵A,存在酉矩阵T,使得A=T~［特征值，称形如这样的分解叫做矩阵4的特征值分解.性质1任意斤阶矩阵存在酉矩阵7使得A=T-1、T,其4=1A••••••/k1人丿心1,2,…,s且人，…,入为矩阵A的特征值.对于对称矩阵有如下结论定理1.1若A为邪介实对称矩阵，则存在正交矩阵T,使得A=T~lT,其中人,…，入I人丿为矩阵4的特征值.证明由定义1知存在酉矩阵T,使得V殆、A=T-}・.T又由于a为H阶实对称矩阵，因此彳=(^
3、p—•••*、、Tf=厂
4、()、•■■T=A=T'[G*、■■■02*A0A丿1n/丿n/、*0><°&J〔*人丿从而，得因此A=T~l••・T得证.定理1.2矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵B,使得A=B'B.证明必要性因为A为正定矩阵，由定理1.1,得存在可逆的正交矩阵T,使得0]A=T']T,且&>0,/=1,2,•••,/?令B=T「'T,从而冇乐]BfB=T~l•■•7T_,<则(A)2'••■T=T~'••■〔（A）；k入丿充分性因为A=B'B,则因此A为对称矩阵.N=(B'B$=BB^=B'B=A又任意不为零的向量兀，有令B兀=3,…，兀2
5、），又3为非奇异矩阵，从而知B兀=（>],•••,吃）^。所以A为正定矩阵.得证.定理1.3设A是斤阶实对称矩阵，则4是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵B,使得A=Bk,k为任意正整数.证明必要性因为A为正定矩阵，由定理1.1,得存在可逆的正交矩阵卩，使得A=T']对任意的正整数令则有T,且&>0,i=1,2,•••,/?(//——、、&T_\•・T=厂10.又A=B*,贝IJ有A'=(/j=(BY=B“=A即A为对称矩阵且有xAx=xBkx①当k为奇数时，xAx=xBkx=又
6、B为正定矩阵，因此B乎jihO,即有xAx=xBkx=(bL)'B(B.)>0②当k为偶数时,x'Ax=xBkx=(BSWx)又3为正定矩阵，因此bLhO,即有xAx=xBkx=(B^xY(B^x)>0从而，知对任意不为零的向量兀，有#Ax>0.因此4是正定矩阵.得证.定理1.4设A为一个n阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S和一个正交矩阵C/,使得A=US或A=SU.证明由定理1.2,知B=AfA为正定矩阵由定理1.3,得存在正定矩阵S,使得B=S2令U=AS",贝ijU'=(AS_1)'=S_,AZ从而有UV=S^A'AS-1=S'lS2S'1=E因此U=AS~l为正交矩
7、阵.同理可证A=SU的结论.且又US=AS-lS=A得证.二、矩阵的秩分解(E0、定义2任一矩阵人如都存在可逆矩阵p、Q，使得A=p:Q,其中厂为矩阵A的秩。100丿称形如这样的分解为矩阵的秩分解.定理2.1秩为r的实矩阵“都可分解成A=%Q呦.(E0、证明由定义2,知存在可逆矩阵P、Q,使得A=PrQlo0丿(E0、(E、因此，得A=JQ=p^(Er0)Q#a”得证.定理2.2秩为r的实矩阵A和可分解成厂个秩为1的矩阵之和.证明由定义2,知存在可逆矩阵P、Q,使得A=P0、°丿Z/=
8、因此，得/(••、"0、■■0••0P1Q=秩10••0■•■<0丿▼■<0>
9、•1nxn丿丿i0而秩nxn7nxn/得证.三、QR分解定义3设A为n阶实可逆矩阵，则可分解为A=QR,其中Q为正交矩阵，R为一个对角线上全为正数的上三角形矩阵.称形如这样的分解为矩阵的QR分解.定理3.1实矩阵可以分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵及一个正交矩阵的积•即A=URV,其屮t/、V为正交矩阵，厂为A的秩且①0,q>0,心1,2,…，厂.■■<0丿(E0、证明由定义2知存在可逆矩阵P、Q,使得A=P:°Q00、&为由定义3,对P、0作QR分解，使得P=QR,Q/=Q2R2^其屮Q、Q?为正交矩阵，&上三角矩阵，从而
