Grobner基及理想的准素分解与矩阵分解研究

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1、中图分类号0153UDC51Q博士学位论文学校代码兰Q53三密级公珏Griibner基及理想的准素分解与矩阵分解研究ResearchonGr6bnerBasesandPrimaryDecom_positionofIdealsandMatrixFactorization作者姓名：学科专业：研究方向：学院(系、所)：指导教师：副指导教师：论文答辩日期李冬梅应用数学代数数学与统计学院刘伟俊教授加f弓．‘。弓答辩委员会主中南-7／0，；年大学s其原创性声明本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，

2、除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。作者签名：盔圭塑日期：纽坠年』月i目学位论文版权使用授权书本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到《中

3、国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公众提供信息服务。作者签名：鼬导师签名：型l盟塑：日期：圣啦年』月三日Gr6bner基及理想的准素分解与矩阵分解研究摘要：理想的准素分解与矩阵分解是计算代数的核心问题，它们在计算机代数、计算代数几何、代数编码和密码学、多维系统理论等学科都有非常重要的理论意义与应用价值．GrSbner基理论是研究理想的准素分解与矩阵素分解的重要工具之一．本文主要讨论理想的准素分解和矩阵分解以及GrSbner基的理论与算法等问题．全文由六章组成．第一章，主要对所研究问题的历史背景、研究现状和研究方法进行较全面的综

4、述．第二章，主要研究主理想整环上多项式环理想的GrSbner基算法．将目前效率最快、形式最简单的计算域上多项式环理想的GrSbner基算法(GVW算法)拓展到主理想整环上的多项式环理想，并给出例子对所推广的算法进行说明．第三章，首先，研究多元多项式矩阵一般分解问题．我们考虑行满秩矩阵F∈C扛“[zl的，一1级子式，得到几类存在一般分解的多项式矩阵．接着研究多项式矩阵因子素分解问题，获得一些更简便的判别，是否为正则因子的条件．最后，研究唯一分解整环上的矩阵素分解问题，得到该环上行满秩矩阵F∈Dh”[z]具有子式素分解的充分必要条件是p

5、(F)：d是秩为，的自由模，其中JD(F)是F的行向量生成的子模．对正则因子．厂，获得F具有因子素分解的充分必要条件为p(F)：厂是秩为，的自由模．第四章，首先，我们对零维理想关于某个变元是否为正常位置进行讨论，给出零维理想关于某个变元是否为正常位置的等价条件，得到一种较容易的求该理想准素分解的方法，对某些理想能较快地得到III其部分准素分支；接着，研究当给定零维理想对所有变元都不是正常位置时，对该零维理想的扩张理想中c的选取进行讨论，找到一种去随机化，确定、快速选取C的方法．第五章，研究具有特殊性质的Gr／Sbner基，给出弱Gr

6、Sbner基的定义及其在多项式复合下的应用，并利用给出的新准则研究下面两个问题：问题1什么时候集合{厂+s，g+f}都是Gr6bner基，其中，s，f是系数域k上的任意元素；问题2什么时候集合{厂^，g。)都是Gr6bner基，其中，允，叮是任意非负整数．得到：l，对任意s，t∈k，{f+s，g+t)是Gr6bner基当且仅当lm(f)与lm(g)互素：2，对任意非负整数九，口，{厂1，g。}是Gr6bner基当且仅当厂与g首项平衡．第六章，我们利用结式理论给出任意多项式环斛而，⋯，x。】(R是唯一分解整环)上的m个多项式彳，正，⋯

7、，厶互素判定的充分必要条件．图0幅，表0个，参考文献118篇关键词：Grobner基；理想的准素分解；多项式矩阵；矩阵分解；首项平衡；弱GrSbner基；结式分类号：68Q40；0153ResearchOilGrObnerBasesandPrimaryDecompositionofIdealsandMatrixFactorizationAbstract：PrimarydecompositionofidealsandmatrixfactorizationaretwokeyproblemsofcomputingAlgebra．Theyh

8、avewiderangeofapplicationsinthestudyofcomputerAlgebra，computingAlgebraicgeometry,Algebraiccodingandcryptography,multi