矩阵分解的研究文献综述

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1、文献综述矩阵分解的研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。因为这些分解式的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法

2、与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵分解的各种常用形式进行梳理、归纳，并举例进行说明。矩阵的定义:由个数排成的行、列的长方形表(1)称为数域上的一个矩阵。其中的称为这个矩阵的元。两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等[1]。矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。如（1）的矩阵可以被记为.如果矩阵的行数与列数相等，则称它为阶方阵。数域上所有矩阵的集合记为,所有阶方阵的

3、集合记为，元全为0的矩阵称为零矩阵，记为0.矩阵的位于第行、第列的元简称为的元，记为。如果矩阵的元是，则可以写成。为了说明这个矩阵是行列的，也可写成或。当时又记为矩阵分解的定义:所谓矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积[2]。本文先简单的介绍了矩阵的定义，通过矩阵的定义，来研究矩阵分解的几种类型，如满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、QR分解等常用的几种分解。通过这几种分解的介绍，来说明矩阵分解在数值代数和最优化问题的解决中的重要作用.从矩阵分解的定义我们可以知道

4、,矩阵分解是将其分成若干个矩阵的和或乘积,可是,不同的矩阵都是用同样的方法去分解吗?还是说不同性质的矩阵,应该选择不同的分解方法?矩阵分解在数值代数和最优化问题中到底有何作用?为什么不同的人,对同一个矩阵,会有不同的分解方法,哪一个方法才是最适合分解方法.这已成为大家争论的焦点。二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景矩阵是代数中的一个应用广泛的重要概念，是代数中的主要研究对象，是线性代数中最为重要的核心内容，并且对矩阵的研究往往可以对矩阵进行初等变换或

5、进行分解以后研究。在实际中的很多问题(如线性方程组求解、二次型化标准型和线性变换的最简矩阵表示等等)都可以归结为矩阵并最终通过矩阵解决，而矩阵的初等变换又是解决矩阵问题的最有效工具之一.熟知,通过矩阵的初等变换,我们可以判别线性方程组是否有解并求其解，化二次型为标准型,判别方阵是否可逆以及求解逆矩阵。当某些矩阵满足一些特定的条件可以对其进行一定的分解。矩阵理论是数学的一个重要的分枝，而且已成为现代个科技领域处理大量有线维空间形式与数量关系的强有力的工具。而矩阵分解是矩阵理论中的重要部分，使得人们都在研究

6、矩阵的各种分解形式，对于满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、QR分解等常见的分解，都想通过他们的性质，应用到更多的领域。矩阵分解对于矩阵的研究来说，已经产生了重大的影响。（二）现状和发展方向矩阵分解作为矩阵理论中的一个重要组成部分，目前已经有了丰富的研究成果，其中包括对满秩分解、奇异值分解、三角分解、和式分解、QR分解及一些特殊矩阵分解的研究。主要成果有：王文娟【3】对满秩分解和奇异值分解的定义及其定理做了简单介绍，并举例说明了奇异值分解在求解各类最小二乘方面的应用；靳全勤【4】对矩阵的满秩分解做

7、了分析，满秩分解是初等变换的一个应用，并利用初等变换对矩阵满秩分解给了一个简洁方法;俞丽彬,彭振赟[5]研究了具有中心对称结构矩阵的奇异值分解,矩阵的奇异值分解公式及Moore2Penrose逆的快速算法,能极大地节省求该类矩阵奇异值分解和Moore2Penrose逆时的计算量和存储量;史荣昌、魏丰[6]对矩阵分解做了详细的研究，其中包括矩阵的满秩分解，矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）,矩阵的奇异值分解等，对他们的定理进行了证明，并通过例子详细分析了计算；和斌涛[7]主要研究矩阵初等变换与矩阵的QR

8、分解的关系。讨论了第一类,第二类矩阵的初等变换对矩阵的QR分解的影响,即初等变换后新矩阵的Q矩阵和R矩阵与母矩阵的Q矩阵和R矩阵之间的定理量关系并利用第三类初等变换给出了矩阵QR分解的新方法;许成锋、刘智秉、王侃民、陈剑军[8]对广义延拓矩阵QR进行分解,阐明Q矩阵、R矩阵与母矩阵的Q矩阵、R矩阵之间的定量关系,结出了两种快速算法;袁晖坪[9]提出了行(列)倒置矩阵与行(列)对称矩阵的概念,研究了它们的性质,获得了一些新的结果,给出了实行(