分块矩阵的应用研究文献综述

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1、文献综述分块矩阵的应用研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念：分块矩阵的概念：当矩阵的行数与列数较大时,为便于运算,有时把它分成若干个小块,每个小块是行数与列数较小的矩阵.把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成,这就是矩阵的分块.构成分块矩阵的每个小矩阵,称为子块.如对矩阵分块如下其中记,则可表示为分块矩阵矩阵的分块可以有各种不同的分法.如矩阵A也可分块如下:通过分块矩阵的定义和概

2、念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年.1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德

3、•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theoryofdeterminants).1750年，加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法.1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说

4、明分块矩阵的一些应用.预备知识分块矩阵的运算:矩阵的分块技巧性较强，要根据不通的问题进行不同的分块，常见的方法有四种：（1）列向量分法为的列向量.（2）行向量分发为的行向量.（3）分成两块其中分别为的若干行.（4）分成四块对分块矩阵可以进行广义初等变换，广义初等变换分为三种：（1）交换分块阵的两行（或列）；（2）用一可逆矩阵乘以分块矩阵的某一行（或列）；（3）用某一矩阵乘以某一行（或列）加到另一行（或列）.根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵（1）;（2）均为可逆阵；（3）.分块矩阵的加法计算时，若对分块,则要求用子块表出的应同型且对应位置的子块也应同型.如对矩阵分块为则对也应予以同型的

5、分块从而按分块相加，有由于因此分块矩阵的乘法计算时，若对分块，则要求用子块表出的的列数等于用子块表出的的行数且对应的子块与应满足如对矩阵分块如下：可对分块如下：则有由于所以分块矩阵在矩阵中是一块重要内容，它是解决许多实际问题的提供方法，下面介绍个分块矩阵在解决线性代数问题中的一些简单应用1.用分块矩阵解决行列式问题在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.这里给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理1

6、：设x，y为任意矩阵，则与都可分解为第三类初等矩阵的乘积.（即对单位矩阵仅仅施行第三类初等变换就可使它的右上角或左下角变成给定的任何矩阵）.证明：任取，把单位矩阵的第一列的倍，第2列的倍，……第m列的倍，都加到第列上去；这时，的右上角第一列变化成y的第一列.这相当于对单位矩阵作了m次第三类列的初等变换.类似地，m次列的第三类初等列变换，可使的右上角第二列化为y的第二列，……因此.定理1（拉普拉斯定理）：设在行列式中任意取定了行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.定理2设都是n阶矩阵，则证：由于，由引理可分解为第三类初等矩阵的乘积.因此，用它右乘一个矩阵，

7、相当于对进行一系列的第三类初等列变换.从而不改变的值.所以两边均对后n列用拉普拉斯定理，得左边右边.例1求证：证明：由于由引理和拉普拉斯定理，两边取得列式，得.例2计算下面2n阶行列式解令为n阶方阵.由于，故A为可逆方阵.又易知从而得出1.利用矩阵分块的方法求逆矩阵求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决,而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大,对某些矩阵可以适当分块后再进行运算,可起到事半功倍的作