分块矩阵的应用研究文献综述

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文献综述分块矩阵的应用研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念：分块矩阵的概念：当矩阵的行数与列数较大时,为便于运算,有时把它分成若干个小块,每个小块是行数与列数较小的矩阵.把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成,这就是矩阵的分块.构成分块矩阵的每个小矩阵,称为子块.如对矩阵分块如下其中记,则可表示为分块矩阵矩阵的分块可以有各种不同的分法.如矩阵A也可分块如下:通过分块矩阵的定义和概念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中. 二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年.1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theoryofdeterminants).1750年，加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法.1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用.预备知识分块矩阵的运算:矩阵的分块技巧性较强，要根据不通的问题进行不同的分块，常见的方法有四种：（1）列向量分法为的列向量.（2）行向量分发为的行向量.（3）分成两块其中分别为的若干行. （4）分成四块对分块矩阵可以进行广义初等变换，广义初等变换分为三种：（1）交换分块阵的两行（或列）；（2）用一可逆矩阵乘以分块矩阵的某一行（或列）；（3）用某一矩阵乘以某一行（或列）加到另一行（或列）.根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵（1）;（2）均为可逆阵；（3）.分块矩阵的加法计算时，若对分块,则要求用子块表出的应同型且对应位置的子块也应同型.如对矩阵分块为则对也应予以同型的分块从而按分块相加，有由于 因此分块矩阵的乘法计算时，若对分块，则要求用子块表出的的列数等于用子块表出的的行数且对应的子块与应满足如对矩阵分块如下：可对分块如下：则有由于所以 分块矩阵在矩阵中是一块重要内容，它是解决许多实际问题的提供方法，下面介绍个分块矩阵在解决线性代数问题中的一些简单应用1.用分块矩阵解决行列式问题在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.这里给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理1：设x，y为任意矩阵，则与都可分解为第三类初等矩阵的乘积.（即对单位矩阵仅仅施行第三类初等变换就可使它的右上角或左下角变成给定的任何矩阵）.证明：任取，把单位矩阵的第一列的倍，第2列的倍，……第m列的倍，都加到第列上去；这时，的右上角第一列变化成y的第一列.这相当于对单位矩阵作了m次第三类列的初等变换.类似地，m次列的第三类初等列变换，可使的右上角第二列化为y的第二列，……因此.定理1（拉普拉斯定理）：设在行列式中任意取定了行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.定理2设都是n阶矩阵，则证：由于，由引理可分解为第三类初等矩阵的乘积.因此，用它右乘一个矩阵，相当于对进行一系列的第三类初等列变换.从而不改变的值.所以两边均对后n列用拉普拉斯定理，得左边右边. 例1求证：证明：由于由引理和拉普拉斯定理，两边取得列式，得.例2计算下面2n阶行列式解令为n阶方阵.由于，故A为可逆方阵.又易知从而得出1.利用矩阵分块的方法求逆矩阵求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决,而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大,对某些矩阵可以适当分块后再进行运算,可起到事半功倍的作用.例3设，求. 解：令则很容易求得，且例4：求矩阵的逆矩阵.解：设则由定理可得， 1.用分块矩阵求解非齐次线性方程组在线性代数中，我们知道：如果是一个n阶非奇异阵将进行分块其中分别是和矩阵.若是非奇异方阵，那么一定可以找到一个上三角分块矩阵使得其中且G是非奇异阵.对于该结论，如果用来求解n个方程的非齐次线性方程组是比较方便的.可按如下过程求解：设非齐次线性方程组为：（1）将（1）式写成矩阵方程为（2）这里为系数矩阵若是非奇异阵，即则方程组（1）有唯一确定的解.将阶阵分块：并注意是非奇异阶阵，同时将及进行相应的分块.可令：,的行数等于的行数，的行数等于 的行数.则矩形方程（2）可写成（3）将（3）式两端分别左乘上三角分块矩阵有（4）其中.方程（4）分解成以下两个矩阵方程（5）因，故再将代入中，得由此，得例5已知求一个的矩阵，使得，并且秩解：我们把矩阵按列分块，由即是所以的每一列即是的解，又因为秩，所以线性无关由所以（为自由未知量） 现分别令及得事实上就是方程组的基础解系，显然线性无关.故我们方可令,所以例6求解方程组解将方程写成矩阵方程，并进行分块，有这里先求出的逆矩阵计算将方程（2）两段左乘以矩阵得到： 解矩阵方程所以所求方程组的解为1.用分块矩阵证明秩的问题例7设A,B分别是的矩阵，则矩阵乘积的秩不超过各因子矩阵的秩.证明：先证.其中分别表示的1，2，…，n行，分别表示的1，2，…，m行，由分块矩阵乘法性质得，即的行向量组可由的行向量组线性表示，在高等代数中我们知道如果向量组可以经向量组线性表出，则，所以.再证 设则由分块矩阵乘法规则可得即的行向量组可由的列向量线性表出，所以由此得 三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）本论文论述了分块矩阵的概念，分析了分块矩阵的性质，讨论了分块矩阵的应用问题.最后对分块矩阵的重点、难点进行归纳，给出恰当的例子.本论文重点是研究分块矩阵的应用问题.查阅各种相关文献，对各文献进行归纳总结，提取各文献中关于定积分的相关内容，系统的进行总结.其中的难点在于如何利用分块矩阵解决相关问题.相信我经过跟多的研究分块矩阵会有更多的应用. 四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]张政修，曹承宾，王尚文．经济数学基础—线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2]王秀芳．分块矩阵的应用讨论[J]．连云港师范高等专科学校学报，2008，9：97-99．[3]张敏．分块矩阵的应用[J]．吉林师范大学学报，2003，2：118-120．[4]严坤妹．分块矩阵的应用[J]．福建广播电视大学学报,2006：71-73．[5]王莲花，李念伟，梁志新．分块矩阵在行列式计算中的应用[J]．河南教育学院学报,2005，3：12-15．[6]刘红旭．利用分块矩阵求解非齐次线性方程组[J]．辽宁师专学报,2003，6：21-22．[7]周兴建．分块矩阵及其应用[J]．科技资讯,2007：126-127．[8]孔庆兰．分块矩阵的应用[J]．枣庄学院学报,2006，10：24-26．[9]同济大学数学系．线性代数[M]．北京：高等教育出版社,2007．[10]孙要伟，郑远平[J]．牡丹江大学学报．2008，8：104-107．[11]陈志杰．高等代数与解析几何[M]．北京：高等教育出版社,2000．[12]王萼芳．高等代数教程[M]．北京：北京大学出版社,2001．[13]丘维声．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2000．[14]David．Lay．LinearAlgebraandItsApplicationsThirdEdition[M]．BEIJING:PublishingHouseofElectronicsIndustry,2004．[15]彭国华，李德琅．LinearAlgebra[M]．北京：高等教育出版社，2006，5．