关于r-分块循环矩阵的若干性质【文献综述】

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1、毕业论文文献综述数学与应用数学关于r-分块循环矩阵的若干性质循环矩阵是T矩阵的一种特殊情形，有许多特殊而良好的性质和结构。在阅读相关文献的基础上，我对循环矩阵的相关知识有了初步的了解，也促使我想进一步研究关于循环矩阵的有关知识。循环矩阵是一门年轻的学科，在众多的科学和工程领域，如编码理论、数理统计、理论物理、结构计算、数字图像处理等许多方面有着广泛的应用。循环矩阵概念的出现始于1885年美国学者Muir.T，他称如下形式的矩阵为循环矩阵，如果取为基本矩阵，则可改写为（1），正是由于（1）式的成立才使得循环矩

2、阵的研究得以顺利进行。然而直到1950年之前，对于循环矩阵的研究还没有引起数学工作者的足够重视。1950年，Good.I.J对循环矩阵的逆、行列式以及特征值进行了研究。从此，循环矩阵开始蓬勃发展，广大数学工作者对它进行了大量的研究，得到了循环矩阵行列式的计算方法和循环矩阵基本性质的一系列丰硕的成果，关于它的理论研究也得到了飞速的发展。特别是其逆矩阵的求法，是人们一直所关注的问题。1955年，Greenspan.D在总结求逆矩阵的种种方法时，特意以三阶循环矩阵为例对循环矩阵逆矩阵的求法作了说明，但只有结论而无

3、证明。1962年，Gilbert.T.L利用Jordan标准形理论，把循环矩阵化为对角形，然后再求出的逆矩阵，从而事实上给出了Greenspan.D提出的计算方法的一种证明。然而在实际计算时却存在大量困难，于是人们又开始寻求新的较为简便的算法。1979年，Searle.S.R给出了与上述两种方法不相同的新的初等算法，它不必用Jordan标准形和特征根，只用到一些矩阵乘法以及逆矩阵的最简单性质。1981年，李炯生给出了Greenspan.D的方法的初等证明。1983年，李天林改进了Greenspan.D和李炯

4、生的方法和证明。1992年，王济荣给出了反循环矩阵的概念及求逆方法。直到现在，很多学者还在寻找更为简便的一般性的求逆矩阵的方法。迄今为止，对于循环矩阵所做的研究已有很多，同时，各种新的循环矩阵被相继提出，国内外许多学者也作了较深入的研究，已经取得了一些比较好的结果。文献[6]中，张光辉，叶晓丽给出了r-分块循环矩阵的概念，其形式如下：，其中。则为一个r-分块循环矩阵，记为。如果r=1，A即为分块循环矩阵，如果r=-1，A即为分块反循环矩阵。文章还对r-分块循环矩阵的对角化问题进行了探讨：设，为如下的范德蒙矩

5、阵：=，W=，其中为-r=0的全部根，则有（1），特别地，（2），其中为-r=0的全部根，，k=0,1,...n-1.(3),其中。。．即任意一个m×n阶的r-分块循环矩阵必可以准对角化．文献[10]中，何承源曾把循环矩阵的元素换成同阶方阵进行研究，引进了r-分块循环矩阵的概念，讨论了它的一般性质，并利用线性方程组和矩阵的相似形给出了r-分块循环矩阵求逆的两种方法，如下：定理1：设，若是线性矩阵方程组的唯一解，则。定理2：设，且、均非奇异，则，其中，。特别地，文章给出了当R＝时，R-分块循环矩阵的块谱分解定

6、理、矩阵范数意义下的圆盘定理以及非奇异的几个充分条件。文献[4]、[7]、[8]对矩阵求逆的问题进行了一系列的探讨，其中文献[7]给出了r-循环矩阵的逆矩阵公式，但其中包含复杂的三角函数运算，所以其意义主要在理论方面，而文献[8]讨论了几种分块循环矩阵求逆的算法，给出了利用分块循环矩阵的准对角化进行求逆的一种简便方法。文献[11]利用最大公因式算法给出了任意数域上非奇异卜循环矩阵求逆的一种新算法，该方法不需要计算三角函数并且具有很少的计算量。文献[13]则利用多项式的Euclid算法给出了非奇异的r-循环矩

7、阵求逆矩阵的一个新算法，该算法同时推广到用于求奇异r-循环矩阵的群逆和Moore-Penrose逆，并给出了应用该算法的数值例子。可见前人在r-分块循环矩阵方面已经取得了一些比较好的结果。r-分块循环矩阵是循环矩阵、r-循环矩阵、分块循环矩阵的推广，于是我想我们可以在上述研究的基础上，介绍r-分块循环矩阵的推广过程及研究背景，对其特征值、对角化等基本性质进行总结归纳，并加以论证，然后概括r-分块循环矩阵可逆的几个充要条件及求逆的各种方法，并参考循环矩阵和r-循环矩阵开平方问题的相关著作，讨论并尝试r-分块循

8、环矩阵的开平方问题。四、主要参考文献：[1]CHENSheng-an．ONTHEEIGENVECTORSOFr-CIRCULANTMATRICESOFPRIMEDIMENSION[J]．J.ofMath．2002,22(2):157-5.[2]JiangZhaolin，XuZongben，GaoShuping．Algorithmsforfindingtheinversesoffactorblockcirculan