关于r-分块循环矩阵的对角化和可逆性【毕业设计】

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1、本科毕业设计（20届）关于r-分块循环矩阵的对角化和可逆性17摘　要【摘要】本文给出了r-分块循环矩阵的形式，介绍了它的一些基本性质和r-分块循环矩阵的两种推广；描述了r-分块循环矩阵的准对角化过程，并在此基础上讨论了r-分块循环矩阵的特征值，行列式值等基本性质；说明了普通r-分块循环矩阵求逆的一种算法及其计算复杂性，并介绍了一类特殊的r-分块循环矩阵，即每个分块都是r-循环矩阵的r-分块循环矩阵求逆的一种快速傅里叶算法。【关键词】r-分块循环矩阵；准对角化；特征值；逆17Abstract【ABS

2、TRACT】Inthispaper,wepresenttheconceptblockr-circulantMatrix.Thenweintroducesomeofitsfundamentalpropertiesandtwokindsofitspromotion.Alsowedescribesthequasidiagonalizationprocessofblockr-circulantmatrixandbaseonthat,wediscussestheeigenvalues,determinant

3、valueandsomeotherbasicpropertiesofablockr-circulantmatrix.Weintroduceanalgorithmofanormalblockr-circulantmatrixanditscomputingcomplexity.Atlast,weintroducethefastfourieralgorithmtocalculatingtheinverseaofaspecialkindofblockr-circulantmatrix,whoseblock

4、aallr-circulantmatrix.【KEYWORDS】r-circulantMatrix;Quasidiagonalization;eigenvalue;inverse17目　录1绪论11.1循环矩阵的历史及研究意义11.2r-分块循环矩阵12定义和基本定理22.1基本概念22.2基本定理33主要结果43.1r-分块循环矩阵的推广43.2r-分块循环矩阵的准对角化，特征值和行列式63.3r-分块循环矩阵的逆84算例12参考文献17致谢18附录19171绪论1.1循环矩阵的历史及研究意义循

5、环矩阵是一类重要的特殊矩阵，它有着许多特殊而且优良的结构和性质。循环矩阵在很多的领域，如图象处理、分子振动、线性预测等方面都有着重要的作用，同时，在计算机时序分析、编码理论、自回归滤波器设计等领域中也经常会遇到以这类矩阵为系数的线性系统的求解问题。正是由于循环矩阵在应用方面的广泛性，近年来，对循环矩阵的研究已成为矩阵理论和组合数学中的一项热门课题，不仅受到代数学界人士的重视，而且受到了计算数学界、应用数学界等许多领域研究人员的重视，关于它的理论研究也得到了飞速发展.循环矩阵概念的出现始于1885年

6、美国学者Muir.T,他称矩阵=为循环矩阵。但循环矩阵当时并没有引起广大数学研究者的重视，直到1955年，I.J.GOOD等人对循环矩阵的逆、行列式、及特征值的研究，才拉开了循环矩阵研究的历史，在这五六十年的研究历史中，循环矩阵理论得到了快速发展。迄今为止，对于经典矩阵的研究文献已有很多，各种新的循环矩阵概念也被相继提出，r-分块循环矩阵就是其中的一种。1.2r-分块循环矩阵r-分块循环矩阵是一类重要的循环矩阵，他的定义如下：设矩阵，称分块矩阵为由所生成的nm阶r-分块循环矩阵，简记为，其中国内的

7、许多学者如何承源，沈光星，郑强，张光辉等都对都对r-分块循环矩阵的性质做了深入的研究，我想在这些研究成果的基础上，对r-分块循环矩阵的对角化，特征值等基本性质进行归纳总结，讨论r-分块循环矩阵的求逆问题，并介绍一类特殊的r-分块循环矩阵求逆的快速算法。17定义和基本定理1.1基本概念定义2.1.1复数域上如下形式的分块矩阵称为nm阶r-分块循环矩阵，简记为，其中，，。定义2.1.2设矩阵，称分块矩阵为由所生成的nm阶K-分块循环矩阵，简记为，其中，，特别地，当时，A为一个r-分块循环矩阵；当时，A

8、为一个分块循环矩阵；当m=1时，A为r-循环矩阵。定义2.1.3A，B分别是阶，阶矩阵，则A和B的kronecker积是一个阶矩阵，即定义2.1.4若矩阵，满足17其中均为n阶r-循环矩阵，则称A为mn阶分块循环矩阵，简记为。1.1基本定理定理2.2.1任意一个n阶循环矩阵可唯一表示为基本循环矩阵的n-1次多项式，其中，即定理2.2.2对于任何一个n阶循环矩阵，必存在一个n阶复可逆矩阵使A对角化，即其中，是由1的n-次方根组成的范德蒙矩阵定理2.2.3设，=，17其中X为mn阶方阵