浅析分块矩阵的应用文献综述

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文献综述浅析分块矩阵的应用一、前言部分矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展.为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。这些运算会使许多问题化繁为简。二．主题部分2.1分块矩阵概念介绍2.1.1分块矩阵概况分块矩阵是一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。然后把每个小矩阵看成一个元素。由矩阵A的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排成的矩阵称为A的一个子矩阵。把一个矩阵A的行分成若干组，列也分成若干组，从而A被分成若干个子矩阵，把A看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的分块，这种由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵。矩阵分块的好处是：使得矩阵的结构变得更明显清楚，而且使得矩阵的运算可以通过他们的分块矩阵形式来进行，从而可以使有关矩阵的理论问题和实际问题变得较容易解决。从矩阵的加法和数量乘法的定义立即看出，两个具有相同分法的13 矩阵相加，只要把对应的子矩阵相加；数k乘一个分块矩阵，即用k去乘每一个子矩阵。通过本文可以求证利用分块矩阵可以简化很多有关矩阵性质的证明。2.2分块矩阵产生的历史背景矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵.英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。2.3分块矩阵发展现状及其基本功能矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。13 分块矩阵可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。2.4分块矩阵的运算规则1．分块矩阵的加法设矩阵A与B的行数相同，列数相同（即为同型矩阵），采用相同的分块法有，其中与是同型矩阵。那么。2．分块矩阵的数量乘法设分块矩阵，k是常数，则。这里是数k与的数量乘法。由分块矩阵的加法与分块矩阵的数乘可得出分块矩阵的减法如下。若分块矩阵与分块矩阵中对应的子块与都是同型矩阵，则有，这里就是矩阵与的减法运算。3.分块矩阵的乘法设A是矩阵，B是矩阵。如果A分块为分块矩阵，B分块为分块矩阵，且A的列的分块法和B的行的分块法完全相同，则这里，，是矩阵与的积。4.分块矩阵的转置13 将A任意分块为，则，其中，是矩阵的转置。5.可逆分块矩阵的逆矩阵利用矩阵分块，可给出某些矩阵的逆矩阵的求解方法。例如，准对角矩阵的行列式为。因此，准对角矩阵A可逆等价于。若A可逆，根据准对角矩阵的乘法，容易求得它的逆矩阵为。2.5分块矩阵在线性代数中的应用在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念，他可以使矩阵的表示简单明了，是矩阵的运算得以简化。而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题，而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果。本文给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法。2.5.1用分块矩阵计算行列式定理1设是一个四分块n阶矩阵，其中分别为13 矩阵，（1）若可逆，则；（2）若可逆，则。证明现在只对（1）进行证明，（2）可类似于（1）的方法证明由分块矩阵的乘法，有，两边取行列式，由于，所以。推论1设是一个四分块n阶矩阵，若可逆，且,则；若可逆，且，则。推论2设是一个四分块n阶矩阵，若可逆，且，则。例1计算。13 解令，，那么所以类似定理1的证明可得。定理2设是一个四分块n阶矩阵，其中分别为矩阵。（1）若可逆，则；（2）若可逆，则。推论3设是一个四分块n阶矩阵，若可逆，且，则；若可逆，且，则。13 推论4设是一个四分块n阶矩阵，若可逆，且，则。例2求矩阵的行列式。其中解：先对进行加边，然后将加边的行列式的第一行乘以-1加到其余各行得令由于，所以B可逆，由结论（2）有。2.5.2分块矩阵在解线性方程组的应用引理线性方程组AX=b可以写成向量方程的形式其中是A的各列。13 证明:由分块矩阵的乘法是显然的。定理1齐次线性方程组AZ=0有非零解的充要条件是系数阵的秩小于未知量的个数n。证明：由引理显然成立。定理2非齐次线性方程组AX=b有解的充要条件是系数矩阵A与增广矩阵B=（A、b）的秩相同。证明：由于AB=b有解，设为由引理有，说明b是系数阵各列的线性组合，即与等价，因此rank（A）=rank（B）由于rank（A）=rank（B）=r不妨设是的极大线性无关组。则也是的极大无关组，即b可由线性表示，更有b可经A的各列线性表示。所以AX=b有解。定理3若线性方程组AX=b对任意b都有解的充要条件是证明：假设的。说明A的各线性相关。设的极大无关组，此时不是的基底，则一定存在向量不能被线性表示，显然对此方程组无解，与任意b方程AZ=b都有解矛盾，因此由于，说明A的各列是的基底。所以，对任意的b都可经线性表示，设即AX=b有解。用分块矩阵求矩阵的秩定理4设是一个矩阵，其中分别为13 ，则证明因为其中由分块矩阵的乘法有，即而与分别是m阶、n阶可逆矩阵，所以定理5把求MXN矩阵A的指数的问题转化为求矩阵的秩数问题，而后面这个矩阵的元素可通过A元素很有规则的用2阶行列式表示。即13 其中如果而求矩阵B的秩又由定理3得其中矩阵的元素又可通过矩阵B的元素很有规则地用2阶行列式表示成一个矩阵。如此继续下去，经过次计算矩阵的秩，最后剩下一个矩阵而求其秩就是很显然的了，这样矩阵A的秩通过有规则地心算，很迅速地求出。、例1求矩阵的秩解由定理2知13 其中，而所以在实际计算时，可以这样进行，首先由A的第一，第二列，从上到下心算2阶行列式值，然后把A的第二列划去，再由A的第一，第三列，从上到下来心算二阶行列式值，如此继续下去可迅速求出矩阵A的秩。划去已算过的列，只是为了不容易混淆看错起见，当然在心算时不划去也可以。2.5.3用分块矩阵求可逆矩阵的逆矩阵定理1设是一个四分块n阶矩阵，其中分别为矩阵，（1）若可逆，则H可逆的充分必要条件是为可逆矩阵，并且其可逆矩阵为：其中（2）若可逆，则H可逆的充分必要条件是为可逆矩阵，并且其逆矩阵为：其中定理2设是一个四分块n阶矩阵，其中分别为13 。（1）若可逆，则H可逆的充分必要条件是为可逆矩阵，并且其逆矩阵为：其中（2）若可逆，则H可逆的充分必要条件是为可逆矩阵，并且其逆矩阵为：其中2.5.4利用分块矩阵证明矩阵秩的不等式定理设，A为矩阵，B为矩阵，则有且当C=0是，，利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式命题1设A,B都是矩阵，则。证明：因为命题2设A为矩阵，B为矩阵，若AB=0，则。所以。命题3设分别为矩阵，则13 。证明：因为。因为，所以，即,于是，证毕。命题4设A、B、C为n阶矩阵，且，则。证明：因为。又因为A（BA+C）=0，由命题2知，所以有得证。三、总结部分分块矩阵在线性代数中是一非常重要的工具，利用矩阵的分块进行运算，是讨论级数较高的矩阵的一种技巧，本文就是对它的应用加以举例，从而拓展解题的思路。以上是对分块矩阵几个应用方面的说明及例子，可以让人对分块矩阵这一工具的实用价值有所认识和了解，它既是一种解题的方法又是一种解题的技巧。本文就是通过大量的例子来说明了分块矩阵可以使矩阵的结构看的更清楚，从而使大量的习题迎刃而解。13 但它的应用并不仅仅是所列举的几个方面，他还有更广的应用还有待于我们去深入探索与深究。四、参考文献[1]卜长江,罗跃生.矩阵论[M].哈尔滨工程大学,2007（12）:1-3.[2]王永茂.矩阵分析[M].机械工业出版社.2005(8):1-2.[3]凤良贵，戴清平，李超，谢端强.线性代数与解析几何[M].科学出版社,2008(1):45-52.[4]百度百科：“矩阵”，“分块矩阵”.[5]张禾瑞，郝炳.高等代数[M].高等教育出版社1983(9).[6]杨子青.高等代数习题解[M].山东科技出版社,1982(6).[7]周兴建.分块矩阵及其应用[J].科技资讯.2007(12):127.[8]P.K.Tam.LinearAlgebra[M].科学出版社.2007（5）：79-85，92-99.[9]郭聿琦，岑嘉评，徐贵桐.线性代数导引[M].科技出版社.2001(5):16-21,26-31[10]王莲花，李念伟，梁志新.分块矩阵行列式的计算中的应用[J].2005（3）：12.[11]董可荣，包芳勋.矩阵思想的形成与发展[J].2009(1):56-61[12]冯良贵，戴清平，李超，谢端强.线性代数与解析几何[M]。2008(1):45-46.[13]BernardKolman，DavidR.Hill.LINEARALGEBRA[M].高等教育出版社.2005(7).[14]王萼芳，石生明.高等代数.第4版[M].北京：高等教育出版社.2003[15]张凯院,徐仲.矩阵论[M].西北工业大学出版社2004.313