浅析分块矩阵的性质和应用

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1、共18页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第18页浅析分块矩阵的性质和应用作者姓名：周甜河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。摘　要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得

2、简明而清晰。关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆TentativeAnalysisofPropertiesandApplicationsofBlockMatricesAuthorName：ZhouTianClass2Grade2007ofMathematicsandAppliedMathematicsofCollegeMathematicsandInformationScienceofHenanPolytechnicUniversitySchoolSummary：BlockmatriceshasawideuseinAdvancedAlgebra.Oper

3、ationsofblockmatricesplayanimportantroleintheoperationofmatrices.Thispapermainlyillustratestheoperationpropertiesandtheelementarytransformationsofblockmatrices.Severalexamplesaregiveninthepapertoshowtheapplicationsofblockmatricesincalculatingtheeigenvaluesofamatrixandprovingasubjecti

4、nconnectionwithmatrices.Itisconvenienttoapplyblockmatricestodealwithquestionscontainingmatriceswithhighorderandcomplexappearancesandcalculatingtheeigenvaluesofabstractmatrices.Keywords:blockmatricesdeterminanteigenvalueselementarytransformationtheinverseofamatrix指导教师：朱盛学生：周甜共18页河南理工大

5、学数学与信息科学学院本科毕业论文第18页§1引言在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。当我们处理阶数较高或者具有特殊结构的矩阵时，用一般处理低阶矩阵的方法，往往会比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常常把一个大型矩阵分成若干子块。把每个子块矩阵看成是一个元素，从而构成分块矩阵。分块矩阵形象地揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。利用矩阵分块可以把高阶矩阵划分为阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为单位的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以

6、及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究。1.分块矩阵的概念有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块。设是一个矩阵，若用若干横线条将它分成块，再用若干纵线条将它分成块，于是，我们就得到了一个有块的分块矩阵，，在这里表示的是一个矩阵。2.分块矩阵的运算性质分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算完全一样，只要进行运算的矩阵的分块适当，分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则：.分块矩阵的加法设,都是矩阵，并且对,用同样的方法进行分块：其中都是矩阵，

7、即使同型矩阵，那么应注意的是，利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块法。下面我们通过一个例题来详细了解加法的运算法则。指导教师：朱盛学生：周甜共18页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第18页例2.1：，解：将分块其中其中。同理，设都是矩阵，把进行分块：，为任意数，则.分块矩阵的乘法下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法：例2.2：用分块法计算，其中指导教师：朱盛学生：周甜共18页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第18页。解：如上分块，，，其中；令，其中，，，，，。指导教师：朱盛学生：周甜共18页河南理工大学

8、数学与信息科学学院本科毕