域，环，模上Grobner基的性质和算法

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1、摘要本论文通过多项式，单项式序和S一多项式引出了Grobner基概念，并参考了文献【1．2．3，4．13】进一步深入综合阐述了域，环，模上Grobner基的性质和算法，最后给出了Grobner基的一些计算方法和应用问题．关键词：单项式序；Grobner基；buchberger算法；强可计算环；Abstractbnerbasisthroughpolynomial．monomialorderandtheS-polynomial．．Thisarticlefurthergivesanoverviewofthetheory．andalgorithmand

2、module．FinallyHowtoSolveGrobnerbasisandthebaseofKeywords：monomialorder：Grobnerbasis：buchberger‘Salgorithm：Strongcomputablering：II一—I_■■_●_■■■_目录中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．I英文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．II目录⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．III引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．1正文⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．2第一章理论基础⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．2第二章域，环，模上Grobner基⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3第三章Grobner基的计算与应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．15参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．22致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．23III东北师范大学硕士学位论文引言在本文中，第1章给出了多项式中领项，领式，领项系数的定义以及四种不同的单项式序，并且一一举例，并且通过多项式的约化引入了Grobner基的定义．在第2章中给出了Gr

4、obner基在域上的一般定义，然后又给出环上Grobner基的定义，引出了强可计算环，极小元，第一约束模，齐次合冲，S．基，强Grobner基和极小强Grobner基等的定义，列举了域，环，模上Grobner基的一些性质与证明．在第3章中本文列举了Grobner基的算法一些应用．东北师范大学硕士学位论文第一章理论基础1．1多项式定义1．1．1领项．领式．领项系数对于一个非零多项式f(x)=aoxn+alx钉一1+⋯-t-口n，这里a。是实数ao不为零，并且竹=deg(f)我们就叫aox“为领式，记做LT(f)=aoxn：叫ao为领项系数，记做L

5、C(f)=ao：叫矿为领项，记做LM(f)=矿，并有．LT(f)=LM(f)LC(f)．例1．1．1．f=缸4-t-2x3+5．他的领项是LM(f)=z4．领项系数LC(f)=3，领式是LT(f、=LM(f)LC(f)=3x4．定义1．1．2对于给定的环A中的三个多项式，'g，h．其中g≠0．我们说，模g一步约化为h，用，三h表示，当且仅当LT(g)是，中某一非零单项式x的因子，并且^=，一面X夕．这个约化过程，就是将，中的一个项用严格比它小的和来代替．例1．1．2f=z}z2+zl，g2Xl-t-X2．项序为z1>X2的字典序，那么我们有，三

6、h=，一zlz29=zl—Xlz；．定义1．1．3令f．h，^⋯．，厶是环A中的多项式，且对i=1，2，．．．，k，，t≠0．令F=(fl⋯，厶)．我们说f模F约化为h，用，三+h．当且仅当以下式成立：，互h1垒J12一⋯§h七：h．2东北师范大学硕士学位论文其中对J=1，2⋯．．矗，^，∈只h，，∈A．定义1．1．4设多项式7’∈A．F=(，1_．．．，^)为环A中非零多项式的有限集．如果7．=0或者r模F不能约化，即LZ(／i)中的任何一项都不会在r中出现幂积的因子，则称多项式r相对于F是既约的．如果，三+r和r相对F是既约的，则称r为，相

7、对F的剩余多项式或余多项式，有时也称r为，的余多项式或．厂的剩余．1．2单项式序推论1．2．1(1)”>’’是一个全序，即对任意一．T一必有一>zd或者扩>rQ：(2)”>”与单项式乘积相容，当一>∥．对任意单项式一有一一>Td矿：(3)”>”是良序，即每个单项式集合中必有”>”关系下的最小元素．定义1．2．2字典序设o=(01⋯．Q。)和∥=(p1⋯，良)．如果。一p左边第一个非零项是正的，我们就写为扩>妇zd或者Q>c。￡疗例1．2．2(1．2．3)>(0．4，5J因为口一臼=(1．一2．一2)左边第一个1>o：(1，3．4)>(1，3，2

8、)因为n—p=(0．0．2)左边第一个非零项2>o：定义1．2．3分次字典序川=∑警l口{>俐=∑：1伤或者l口I=IBI并且口>妇卢我们就记做Q>g