strongart数学笔记：小结模与环上的morita性质

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1、小结模与环上的Morita性质我曾经在自己的交换代数讲座中提到过，理解环大概有三个层次：第一个是元素，这是最初级的讨论；第二个是理想，包括理想基本运算、链条件、根基（理想的交）等等，第三个是模，它可以看出被环操纵的一个傀儡，经常可以反馈一些信息。可最近我意识到还有第四个层次，那就是（模）范畴，与之相关的理论被称为Moritatheory.Moritatheory可以从矩阵环的理论中推广出来，起初是注意到环R的很多性质往往与矩阵环Mn（R）相似，然后发现这样的现象可以在范畴的高度上进行解释，也就是说R与Mn（R）是Morita范畴等价的，相应模范畴的等价性质被称为Morita性质（M

2、orita不变性）。当然，推广后的结构并不仅限于矩阵环，而是构造一个形式化的MoritaContext六元组（R,P,Q,S,α,β），这里我就是不再展开了。实际上最常遇到的例子除了矩阵环之外，也就是在半本原环（semiperfectring）R中对基本幂等元e，R与eRe之间的关系了。如果肯定了某个性质P是Morita性质，那么关于它的一切命题都可以放心的在等价类中搬运，在代数K理论中Mn（R）与R的Ki群同构就是典型的例子。既然Morita性质建立在范畴等价的基础上，那么只要是范畴性质，那么它自然就是Morita不变的。这里的范畴性质主要就是那些不依赖于具体元素确定的性质，而关

3、于主理想（有生成元啊！）、循环模、零因子等等性质，它们就可能不是Morita性质。但我们不能说它一定不是，因为它可能有其他范畴性的等价刻画，使用元素定义只是方便一点而已，比如下面的奇异模与非异模就是典型。遗憾的是，假若性质P蕴含性质Q，P与Q是否属于Morita性质是毫无关联的，因此我们只能一个个进行检验，顺便也可以回顾一下相应环与模的基本性质。在Morita性质的检验过程中，环的性质总是建立在模的基础上的，因此我们先检验的模的常见性质（为了方便，我以右侧为例）,像子模、商模、直和项等关系都是明显的，而本性子模与多余子模也可以不依赖元素定义，因此也属于Morita性质的范围内，而且

4、可以作为判断其他性质的基础。1.投射、内射与平坦性：可以直接通过Hom与Tor函子定义。2.单与半单性：通过直和加项定义（范畴积）。3.有限生成(f.g.)与有限上生成(f.cog)：通过子模与商模的关系定义（单射与满射）。4.右Noether(A.C.C)与右Artin(D.C.C.)性：子模的链条件。5.忠实性：这个稍微复杂一点，需要在MoritaContext六元组中通过R-张量积函子-*Q：R-mod→S-mod诱导。6.右非异与右奇异：R-模S是右奇异iff存在R-模M、N，N是M的本性子模，满足S≌M/N；R-模M是右非异的iff对任何奇异右R-模S，Hom（S，M）=

5、07.有限表示（f.p.）与右凝聚性：前者按照正合列建立在f.g.的基础上，后者指任何f.g.子模均为f.p.的。8.生成子与上生成子：P是生成子iffHomR（P，-)是忠实函子，上生成子就是f.g.投射的生成子。同时，模的自由性与循环性都不属于Morita性质，对此只要考虑矩阵环的情形即可。下面我们来讨论环的情形，在模的讨论中我们尽量避免引入（右）理想，但是讨论环（特别是与根基有关的环）时，（右）理想似乎是必不可少的。事实上，对理想的研究需要MoritaContext六元组，可以得到R与S的理想格的同构的。此外，一个重要的结论就是环论性质P是Morita不变的iff当R满足P时

6、，对任何n>1，Mn（R）满足P；同时对任何完全幂等元e∈R，eRe满足P。大概是为了体现Morita性质的威力，避免出现循环论证，我们一般不用上述结论来检验Morita不变性，只是用它们来证伪而已。1.单模与半单模：单模可以直接判断，而R是半单模iff任何R-模都是半单（或投射、或内射）的。2.vonNeumann正则环：R是vonNeumann正则的iff任何R-模都是平坦的。3.右Noether与右Artin：f.g模满足右A.C.C.与右D.C.C.4.右自内射：按定义自明。5.QF：右自内射+右Noether（或Artin）6.（半）素、右（半）本原：前两种情况可以通过（

7、半）素理想的对应说明，而R是右（半）本原的iff存在忠实的（半）单右R-模。7.右（半）遗传：R是右（半）遗传的iff任何投射R-模的（f.g.）子模都是投射的。8.右非异性：参见上面模的情形。9.右凝聚性：R是右凝聚的iff平坦左R-模的直积平坦。10.半准素、半局部性：R是半准素的iff其Jacobson根rad（R）幂零且iffR/rad(R)是半单的，R是半局部的iffR/rad(R)是半单的（或右Artin的）。11.右（半）完全性：R是右半完全的iff任何