广义Γ-环上模的Morita结构及其应用.pdf

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1、上海理工大学学报第34卷第3期J．UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyVo1．34No．32012文章编号：1007—6735(2012)03—0281—03广义一环上模的Morita结构及其应用俞淑萍(上海医疗器械高等专科学校基础部，上海200093)摘要：引进广义r一环上模的Morita结构概念，建立模的Morita结构理论及其构造M，应用它们给出左、右Artin单广义r一环结构定理的证明．关键词：广义r一环；投射模；Morita结构；构造M中图分类号：0153．3文献标志码：A

2、Morita-structureofGeneralizedF-ringsandItsApplicationsYUShu—ping(BasicCollege，ShanghaiMedicalInstrumentationCollege，Shanghai200093，China)Abstract：TheconceptofMorita-structureofmoduleongeneralizedF-ringswasintroducedanditstheoryandstructureMwereconstructed．Onthisbasis，a

3、newproofofthestructuretheoremwhichisonleftorright／krtinsimplegeneralizedr—ringswasprovided．Keywords：generalizedF-rings；projectmodule；Morita-structure；structureM文献[1]引进广义r一环，本文研究这种环上模模的相应结果．的Morita结构及其应用．该问题迄今尚未有人讨论定理1设P为R一模，则下列条件等价：过．本文中出现的广义r一环R均有a一单位元，Vaa．P为投射模；∈r．设M

4、为R一右模，N为R一左模，Hom(M，N)b．任一短正合列0一M—N—P一0是点分表示M到N的模同态集，End(M)表示模M自同裂的；态集．本文中出现的不加定义的概念和符号见文献C．P为a一自由模的直和因子，即存在a一自由厂1—2]．模F与R模P使PoP～F．定理2R一模P为投射模的充分必要条件是1广义j【1一环上模的Morita结构定义存在集{lEA}P根据结合环上模的Morita理论，可以定义广义{l∈A}三P=Hom(PR，RR)r一环R上的模、a一自由投射模、投射生成模及一使得对任意X∈P，几乎有()=0，且=张量积等概念．

5、本文省略这些概念的定义过程，直接∑a()，从而为有限和．利用这些概念，并不加证明地给出广义厂一环R上收稿日期：2011—03—10作者简介：俞淑萍(1961一)，女，讲师．研究方向：序半群．E-mail：yusp@smic．edu．cn上海理工大学学报2012年第34卷定理1和定理2可由广义r一环上模的运算特End(M)．易验证R关于这个结构构成广义r性，仿照文献[3—4]中结合环相应结果的证明即可一环．1。为R的a一的单位元，且l∈C(R)．证得．本文省略它们的证明．为区别于环End(MR)，将这个广义r一环R记为定义1设R，R为

6、广义I1一环，M=RMR，Endr(MR)，即R=End(MR)．特别地，若仅对M=RM，兄，，若有R_R一同态r和R同态为a一而言，即F7-{a}，就得到广义a一环R。r：MMR，mom(m，m)Endr(MR)．：Mo，MR，mo，m[m，m]情形2若1。EC(R)，]口Er，设1，2∈它们满足：任意，yEM，，YEM，R，l9∈I1，mE．M，规定a．[，]口=xa(Y，)；(12m)△(12)mP，1。：m(2)b．d(，)=(，)ay．则R也为广义I1一环．即下面的两个同态映射图1(a)和图l(b)可交情形3在情形1中，当

7、r∈R，mEM，PEr换，则称(R，R，M，M，r，)为一个Morita结构．时，规定M固MM、fMM(raP1)(3)—则MR为左R模，即M=R，MR．，1标准同构情形4在情形2中，当∈R，mEM，』9∈r时，规定R标准同构r't~m△(4)(a)与条件a对应的同态映射交换图则MR为R，_模，即M=R，MR．情形5在情形1中，当∈M，∈R，肼，M’1固R，M’∈r时，规定f固，1jIf标准同构(YPr)mY(rt1)]⋯(*)全rP(*m)’RO；，M标准同构则∈M且M=RM壹，．(b)与条件b对应的同态映射交换图情形6在情形2中

8、，当∈M，∈R，图1同态映射交换图∈I1时，规定Fig．1Homomorphicfigure(Pr)m()m，()m全rP(m)(6)则M=RM盍，．2构造M对于情形1与情形2有下面的性质：a．(Y，ml+m2)=(Y，m1)+(Y，