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《Strongart数学笔记：正则局部环与CM局部环》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、正则局部环与CM局部环在完成了交换代数的初步课程之后，接着就是处理维数、深度之类的东西，它要涉及一些数量特征的估计，通常被称为是硬交换代数。本文主要讨论其中最为重要的正则局部环与Cohen-Macauley局部环，对于非局部的情形，我们有如下的通用定义：一个环称为X环iff它对任何素理想的局部化均为X环。约定:本文中的环均为包含1的交换环。先从Noether局部环的维数谈起，假设（R，m）是Noether局部环，那么其Krull维数dim（R）=d（R）=δ（R），这里有个多少让人尴尬的地方，就是d（R）与δ（R）似乎没有专门的名称。下面我来解释它们的意义，假设q是m-准素理想，则存在多项式F
2、_q（t）∈Q（t），使得F_q（n）=l（R/q^n）,其中l表示模的长度。这里多项式F_q实际上对应分次模⊙q^n/q^(n+1)的Hilbert多项式，只不过次数要少1.在此基础上，我们可定义d（R）=degF_q，可以证明它与m-准素理想q的选择无关，在实际应用时常常就取q=m.记q的极小生成元族所含的元素个数为δ（q），可定义δ（R）=min{δ（q）；q为R的m-准素理想}，这个定义要稍微简单一点，但在计算dim（R）时却是最常用到的。这个定理属于所谓的结构型定理，其证明要涉及很多细节，这里我就略过了，下面借助一个简单例子分析一下其应用方法。首先是计算多项式环的维数，假设K是代数闭
3、域，那么dim（K[X_1,…，X_n]）=n.首先考虑由（X_1，…，X_i）生成的素理想链。我们可以得到≤的部分。反过来的步骤的关键的，主要是看δ（q），为此先要转化到局部环的形式，任取它的一个极大理想m，有dim（K[X_1,…，X_n]）=dim（K[X_1,…，X_n]_m），注意其极大理想总是形如（X_1-a_1,…，X_n-a_n),各a_i∈K，在局部环内也由n个元素生成，因此有δ（q）≥δ（m）=n（为什么不能直接写等号？），这样就证明了≥的部分。利用类似的技术，我们可以证明所谓的主理想定理，对Noether环R，假若其真理想I由r个元素a_1,…,a_r生成，则它的高ht（
4、I）≤r.在证明这个具体结论之前，要先解释一下环内理想的高的概念，它实际上可以视为理想的Krull维数，即它所包含的素理想链的长度。对于局部环R而言，其Krull维数就是其极大理想的高。下面我们来证明主理想定理，先进行局部化，可以找包含I的极小素理想p，既然IR_p由r个元素生成，有dim（R_p)=δ（R_P)≤r，得ht（I）=ht(p）=ht（pR_p)=dim(R_p)≤r.下面我们遇到一个自然的问题，其中的等号什么时候成立？这一点对于极大理想格外有意义，对于d维Noether局部化（R，m），假若有d个元素a_1，…，a_d，使得I=（a_1，…，a_d）是m-准素的，则称a_1，…
5、，a_d为R的一个参数系。参数系的特点就具有某种齐次性，即dim（R/(a_1，…，a_i))=d-i,i=1,…,d.更有意思的则I=m的特例，此时我们称R为正则局部环，称a_1，…，a_d为正则参数系。正则局部环是一个相当重要的环，对于d维Noether局部环，我们有如下结论：R是正则局部环iffdim（m/m^2)=diffgl.dim(R)（=d）有限，其中D（R）表示环R的整体维数，这是从同调意义上进行刻画的。作为正则局部环的典型例子，我们有如下的结构定理：设R是剩余域为k的d维完备正则局部环若包含一个域，则它同构于域上的d元幂级数环k[[X_1,…，X_d]]，并且（X_1,…，X
6、_d）就对应它的正则参数系。此外，我们有还有正则局部环是整环，而且还是UFD，还是Cohen-Macauley的局部环（见下文）。正则局部环的几何意义则是代数簇或概形的非异性。注：本文主要阐述交换代数，对于涉及到的同调代数与代数几何方面的内容，就只能一笔带过，不再相加解释了。接下来，我们看一下正则的意义，它实际上是零因子概念的推广，更适合在模上进行讨论。设M是非零有限生成R-模，a∈R，若a不是M的零因子，则称a是M的正则元。对于a_1,…,a_n∈R，若满足条件1）a_i是M/(a_1,…,a_(i-1))M-正则的，i=1,…,n；2）M≠(a_1,…,a_n)M则称a_1,…,a_n是一
7、个正则序列。此时，我们有ht((a_1,…,a_n))=n，即主理想定理中的等号成立，同时可以证明，正则局部环的正则参数系就是正则序列。设R是Noether环，I是R的理想，M是有限生成R-模且IM≠M，则I中的正则列都可以扩成成I内的极大正则列且所有I内极大正则列的元素个数相同，它称为模M关于理想I的深度，记作depth（I，M），它可以用同调语言刻画为使得Ext^i(R/I,M)≠0的最小的i
