strongart数学笔记：半单环上的模特征与环的同调维数小结

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1、半单环上的模特征小结记得刚开始学模的时候，总觉得其中有一种不协调感，后来知道是主角与配角之间的关系有点错乱，作为系数的环似乎喧宾夺主的成了主角，但是这也使得环与模的关系非常密切。下面我就结合最近学到的东西，以半单环上的模特征为例作一个小结。先看这样的一个命题：ArightringRisvon-NeumannregularringiffeveryrightR-moduleisdivisible.其实直观上也容易理解，类比于semisimplering中anyrightideal均可作为直和加项，在von-Neumannregularring中的principalrig

2、htideal是直和加项，而divisiblemodule则等价于principallyinjective，后者是指BaerCriterion中的anyrightideal换成anyprincipalrightideal，可以视为我们熟知的结论injective→divisible的本质解释。我们还可以从另一个角度看这个问题，初级教科书中一般只在domain上介绍divisiblemodule，其实可以推广到一般环上如下：AR-moduleMisdivisibleifforanyu∈Manda∈R,(foranyx∈R,ax=0→ux=0)→u∈Ma.我们把它推广到

3、相应的族，就得到fullydivisible的概念，也就是说：AR-moduleMisfullydivisibleifforany{u_i}CMand{a_i}CR,(forany{x_i}CR,Σa_ix_i=0→Σu_ix_i=0)→u_i=va_i，v∈M.可以证明，fullydivisible与injective也是等价的。在初级环论中，我们知道semisimple→von-Neumannregular→Jacobsonsemisimple，一个自然的问题就是它们对应的模有什么性质？事实上，我们还有命题：A(right)ringRissemisimpleri

4、ngiffeveryrightR-moduleisinjective，这与上文中的injective→divisible高度契合。如果我们知道相应环上模之间关系，就可以导出相应的环的关系，但反过来却是不行的，理由是这样的模未必一定是相应环上的模。事实上，我们还有A(right)ringRissemisimpleringiffeveryrightR-moduleisprojective，ArightringRisvon-NeumannregularringiffeveryrightR-moduleisflat，这些都是很漂亮的命题，但对于一般的模，显然injectiv

5、e不意味着projective，divisible也不意味着flat.对于Jacobsonsemisimplering，我也想找一下相应模的特征，开始我猜想是rad(M)=0.后来发现ArightringRisV-ringiffforanyrightR-moduleM,rad(M)=0.这样的rightV-ring在交换的情形下重合于von-Neumannregularring，考虑一般紧集上的连续函数环，就知道von-Neumannregularring并不是都是Jacobsonsemisimplering，因此我的猜想是错误的。但这样的rightV-ring有个

6、等价条件是anyrightidealI≠Risanintersectionofmaximalrightideals，因此anyquotientofRisJacobsonsemisimplering.特别地，它自身也应该是Jacobsonsemisimplering，这多少还是值得欣慰的。我查了手头的代数书，似乎都没找到Jacobsonsemisimplering的模特征，甚至连交换的情形也没有，看来问题并不是太简单的。但是就von-Neumannregularring而言，有这样一个有趣的命题：AcommutativeRisvon-Neumannringiffeve

7、rysimpleR-moduleisinjectiveiffeverysimpleR-moduleisdivisible.如果在模的上面再加上一些修饰，结论自然要弱一些，但Jacobsonsemisimple正好就是比较弱的，也许最终只能得到这样稍弱的命题，当然这还有待于进一步的探索。环的同调维数学习小结最近读了Lam的LecturesonModulesandRing的第五段Homologicaldimension，主要就是讲投射维数(pd.dim)、内射维数(id.dim)与平坦维数(fd.dim)这三个概念，这次算是基本上看清楚了。下面我就来简单小结一下，重