strongart数学笔记：从单模到cs模的小结

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1、从单模到CS模的小结下面来小结一些比较有趣的模，描绘出从单模到CS模的两条不同的路线（参见下图），而在它们共同的基础则是essential、summand、complement这三个刻画子模关系的基本概念。先介绍一点预备知识，来看所谓的essentialsubmodule.（右）R-模E的子模M称为essentialsubmodule，若E的任何非零子模与M的交非空，记作MCeE。显然，summandisnotess，直观上可以把ess看做是非常贴近的子模，其贴近程度可以借助injectivehull来刻画。我们知道任何模M都可以嵌入某些injecti

2、vemodule，其中最小的一个就是injectivehull，记作E(M).事实上，M的essentialextension就是介于M与E(M)之间的模。与之相关的一个概念是complement，CCM是complement，是指存在某个子模S，使得C是与S平凡相交的极大子模，记作CCcM.它们之间的关系是：summand→complement←→essclosed.下面看类似单模的情形，主要有包含关系simple→uniform→indecomposable，它们在semisimplering上是相同的。所谓uniformmodule就是指它任何子

3、模都是ess的，它是一种被压缩了模（un.dim=1）。Simple的子模平凡，也就自然是uniform，而summand显然不是ess，因此得到indecomposable.所谓CS，就是要求complementsissummands.我们可以知道uniformisCS，这是因为uniform的空间太小了，容不下非平凡的ess，这就使得complement只能乖乖的变成summand.然后我们解放一下un.dim，有simple→semisimple→QI（quasi-injective）。这里是QI是injective的一种推广，M是QI就是指任何

4、M的子模L，Hom（L,M）的任何元素都可以扩张为End（M）中的元素。那么semisimple与injective有什么关系呢？实际上，它们都有某种意义的分裂性：semisimple是内部的子模可裂为summand（比如在semisimple条件下，QI模定义中的L就是M是summand），injective则是作为某个更大的模的子模可裂为summand.如果R-模M包含R的一个copy，那么由BaerCriterion可以得到QI←→injective.在semisimplering上，这两种模是相同的，然而在一般的环上它们却是相互独立的。先看Z/

5、4Z，它实际上是self-injectivering，也就是说Z/4Z作为Z/4Z-模是injective，但是由于二阶元生成的子模Z/2Z不可裂，因此它不是semisimple的。同样，我们还能得到这样的Z/2Z不是injective，但它却是semisimple的（还是simple的）！最后的步骤就是要说明QI→CS，这里的关键是QI模M在E（M）中的fullyinvariant，即M是QI←→M在E（M）的任何自同态下稳定。由此可得QI-模的直和分解可以由E(M)诱导，假若NCcM，则存在T，N⊕TCeM→E（M）=E（N）⊕E（T）→M=M∩E

6、（N）⊕M∩E（T）→N=M∩E（N)issummand，其中最后一步用的是essclosed.相应的反例则是出奇的简单，考虑Z-模Z，它是uniform的，因此也是CS，但是它不是injective，也就不是QI了。谈谈特征模的一些特征讨论flatmodule与injectivemodule之间的关系时，一个重要的中介概念就是特征模（charactermodule），也有称其为Pontrjaginduality的。MisflatmoduleiffthecharactermoduleM*=Hom（M，Q/Z）isinjective.首先，一个值得问的问

7、题就是为什么要用Hom（M，Q/Z）来定义charactermodule，特别是为什么后面要用Q/Z，而不是更加简单的Z或者Q？这个问题与表示论的思想非常相似，所谓表示论，就是把不熟悉的对象投射到熟悉的对象上面，这要求熟悉的对象既要简单又要能够保存原来对象的有效信息。Trace其实就是一种表示，但它似乎过于简化了，经典表示论是用矩阵群来做被投射对象的，然而我们完全可以扩展这样的概念，这里所用的Hom（M，Q/Z）更像是把M“翻转”过来。先考虑Abeliangroup的情形，一个原因就是Q/Z是injectivemodule，这保证了对应短正合列的可裂性

8、，同时由BaerCrition可得：对任何x∈M，总有f∈Hom（M，Q/Z），使得f（x）≠