strongart数学笔记：算子kk理论简明小结

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1、算子KK-理论简明小结最近学了一点算子KK-理论，发现这个东西技术细节还是比较麻烦的，下面我就来整理一个大致思路，对KK-理论的概貌做一个大致的刻画，希望对能够来到这里的数学天才有所帮助。对于KK-群有各种不同版本的定义，但最后的基本性质却是相似的，因此我们先来讨论最一般意义上的KK（A，B）.让我们先看基本约定，在KK（A，B）中，一般要求A与B是带σ-单位的分次C*-代数，这一点可以保证它强同伦与同伦关系是一致的。此外，我们假设A是可分的，这主要是使得对应Kasparov模的等价关系一致于同伦关系，还假设B是稳定的，这

2、可以带来KK-群的稳定性，在KK-理论中紧算子代数是可以被忽略的。在这样的约定下，我们来看KK-群的若干基本性质。1）同伦不变性：同伦关系导出相同的KK-群2）稳定性：与紧算子代数K或有限矩阵代数M_n的张量积保持KK-群不变3）Abel群性质：它构成Abel群。这里的加法是通过一个特殊的降阶内自同构Θ来定义为[a]+[b]=Θdiag{a,b}，而Θ：Mn（B）→B，Θ：((b_ij))=Σw_ib_ijw_j*，其中w_i*w_j=0，若i≠j；Σw_iw_i*=1.(实际上这类似Cuntz代数的结构，在KK-群的加法

3、定义中只用到n=2的情形）4）乘积性质：即有双线性映射：KK（A，B）×KK（B，C）→KK（A，C），它满足下面性质：4.1）单位律：1_A·x=x=x·1_B，对任何x∈KK（A，B）4.2）分配律：x·（y+z）=x·y+x·z，对任何x∈KK（A，B），y、z∈KK（B，C）4.3）结合律：(x·y)·z=x·（y·z），对任何x∈KK（A，B），y∈KK（B，C），z∈KK（C，D）5）函子性质：5.1）若f：A1→A是态射，则f^*（x）·y=f^*（x·y），对任何x∈KK（A，B)，y∈KK（B，C)5.2

4、）若g：C→C1是态射，则x·g_*（y）=g_*（x·y），对任何x∈KK（A，B)，y∈KK（B，C)5.3）若h：B1→B2是态射，则h_*（x）·y=x·h^*（y），对任何x∈KK（A，B1)，y∈KK（B2，C)6）与K-群的联系：KK(C，B）=K_0（B）在KK-群的基础上还可以定义KK^1群为KK^1（A，B）=KK（A，B_(1))其中B_（1）是带奇分次的B⊙B，这样我们还有性质：6’）KK^1(C，B）=K_1（B)7）扩张性：若A，B平凡分次，则KK^1（A，B）=Ext（A，B）^(-1)；若A

5、还是核C*-代数，则KK^1（A，B）=Ext（A，B）.8）Bott周期：KK（A，B）=KK（SA，SB）=KK^1（SA，B）=KK^1（A，SB).9）六项正合列（见[2]19.5.7）10）P-V正合列（见[2]19.6.1）下面简述KK-群的几种不同定义，一般我们都是先从Kasparov模来引入KK-群的。设A与B是分次C*-代数，先定义KasparovA-B模为满足若干条件的三元组（E，Φ，F），其中E是可数生成的分次HilbertB-模，Φ：A→B（E）是*同态（可视为A在E上的作用）且F∈B（E）是一次元

6、素，满足条件：对任何a∈Ai)Φ·β_A=β_E·Φ（β表示对应C*-代数的分次）ii）[F，Φ（a）]∈K（E）iii）(F^2-1)Φ（a）∈K（E）iv）（F*-F）Φ（a）∈K（E）这样的KasparovA-B模的集合记为E（A，B）；然后再定义退化的Kasparov模为满足条件：[F，Φ（a）]=(F^2-1)Φ（a）=（F*-F）Φ（a）=0，其集合记为D（A，B），那么在Kasparov意义上的KK群就定义为对应的商：KK（A，B）=E（A，B）/D（A，B）此外，在Kasparov模上还可以定义同伦关系，做

7、商之后就可以得到另一个意义上的KK-群，而第一项A可分时，而两个KK-群是一致的。利用Kasparov模来定义KK-群，可以方便我们对KK-群进行操作，因为我们可以在Kasparov模上定义拉回推出、内外张量积等常规概念，然后再推广到KK-群上。特别是这个KK-群的乘积，可以先在Kasparov模上直接构造对应的Kasparov积，然后再传递到其他KK-群上。这样的过程尽管有点繁琐，但至少还是有迹可循的，大概正是这样的原因，当代的文献中对KK-理论的介绍一般都是从Kasparov模开始的。对于一般的（非分次）C*-代数A与

8、B，我们可以定义KK_h（A，B）-环为同态二元组（Φ+，Φ-），Φ+、Φ-∈Hom（A，M（K⊙B）），满足对任何a∈A，有Φ+（a）-Φ-（a）∈K⊙B.在KK_h（A，B）-环的集合F（A，B）上可以定义同伦关系～，定义对应的KK_h群为对应的商：KK_h（A，B）=F（A，B）/～可以证明，这样