strongart数学笔记：从hilbert变换看奇异积分算子

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1、从Hilbert变换到奇异积分算子奇异积分算子是调和分析中比较难学的一部分内容，主要就是缺乏具体实例支持，即便是最简单的球对称情形，其计算也是异常麻烦的，更不用说其他一般情况了。这里我准备从最简单的一维Hilberttransform开始，看看从中能够挖掘出多少关于奇异积分算子的信息。Hilberttransform可以定义为主值积分H（f）=p.v.1/π∫f(y)/(x-y)dy，其初等性质可以通过Fouriertransform来研究。事实上，我们有H（f)^(ξ)=(-isgnξ)f^(ξ)，由此可得H是L^2(R)上的等距同构,同时H^2=-I.由此

2、我们可以把Hilberttransform推广到高维类比，得到Riesztransform的概念。事实上，我们有Rj(f)^(ξ)=(-iξj/

3、ξ

4、)f^(ξ),并且ΣRj=-I.它与经典分析的联系就在于可以作为f∈L^p(R)的conjugatePossionintegralQ的极限，利用Fouriertransform可以得到Qy*f=Py*Hfa.e.成立。对此我们可以构造极大函数H^(ε)(f)进行刻画，有f∈L^p时，H^(ε)(f)-Qε(f)→0在L^p与a.e的意义上均成立。事实上，类似的极大函数法在调和分析中是非常普遍的，其Lp收敛依据的是

5、Lebesguedominatedconvergencetheorem，而a.e.收敛则是依据Lebesguedifferentiationtheorem.Hilberttransform满足良好的几何变换性质，它与平移、正展缩都是交换的，而与反射是反交换的。有趣的是，在L^2（R）的有界算子若满足这三个条件，那么至少在相差一个常数的意义上它必然就是Hilberttransform.保持前两种变换，把反射换成旋转条件ρTjρ^(-1)=ΣρjkTk，我们就能得到此结论的高维类比。事实上，对于高维的情形，我们经常通过旋转转化为一维问题来处理，这一点我们马上就要在

6、下面的算子型估计中看到。即使是最简单的Hilberttransform，能算出明确结果的似乎就有区间的特征函数，但我们依然能够从这样的结果中提取一下信息。我们有H(χ[a,b])(x)=1/πlog

7、x-a

8、/

9、x-b

10、，由此很容易看出它不是（1,1）型，也不是（∞，∞）型的，并且很可能就是弱（1,1）型的。事实上，正如Hardy-Littlewoodmaximalfunction一样，Hilberttransform是弱（1,1）型与（p，p）型的（1

11、法，先利用共轭关系建立等式H(f)^2=f^2+2H(fH(f))，然后对p=2^k的情况归纳证明，再通过插值定理填补其中空隙，并且利用对偶条件处理1

12、

13、Tf>α

14、≤

15、Tg>α/2

16、+

17、∪Qj

18、+

19、{Tb>α/2}∪Qj

20、，前两项都可以直接处理，而第三项的处理则是富有技术性的。考虑奇异积分算子Tf=f*K，在Hilbert变换下K=1/πx，而一般则要求K满足Hormandercondition：∫（

21、x

22、

23、≥

24、2y

25、）

26、K(x-y)-K(x)

27、dx≤A,y≠0,其中常数A与y无关。这个条件是相对比较弱但却非常管用的，比它稍微强一点的条件是

28、▽K(x)

29、≤A

30、x

31、^(-n-1),x≠0，因此Hormandercondition就相当于一定的弱可微性。仔细思考可以发现，积分内函数相当于y

32、▽K(x)

33、，

34、x

35、≥

36、2y

37、表达了x远离被微分的y,而Hormandercondition恰好处在一个临界状态，假若我们先估计再积分，那么结果就会发散，必须要先积分再能够做出这样的估计。做完这样的准备工作，我们可以用C-R分解证明当K满足Hormandercondition时，假

38、若对某个r（1