strongart数学笔记：泛函分析中算子的链条件初探new

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1、泛函分析中算子的链条件初探在抽象代数特别是环论中，我们有如下的FittingDecompositionTheorem：设R是环，M是有限长的右R-模，对任何自同态f∈E=End（M），存在整数n使得M=Ker（f^n)⊙im（f^n).事实上，有限长条件等价于Noether+Artin，它们分别保证了核升链Ker（f^n)与像降链im（f^n)在某一项终止，这个定理就是说假若升链降链都终止的话，就有相应的直和分解关系。在泛函分析中，我们也可以尝试着定义类似的结构。设T是向量空间X上的有界线性算子，考虑相应的升降

2、链如下：N(T)≤N(T^2)≤N(T^3)≤…R(T)≥R(T^2)≥R(T^3)≥…这里N与R分别相当于环论中的Ker与Im.可以证明，只要序列存在某一项取等号，那么此后各项均取等号，此时我们称序列是稳定的。在此基础上，我们可以给出如下定义：1）称算子T是Noether的，若其中的N-序列稳定，并把第一个满足N(T^k)=N(T^(k+1))的k称为算子T的升指标，记作α（T）；当这样的k不存在时，规定α（T）=∞.2）称算子T是Artin的，若其中的R-序列稳定，并把第一个满足R(T^k)=R(T^(k+

3、1))的k称为算子T的降指标，记作δ（T）；当这样的k不存在时，规定δ（T）=∞.3）称算子T是有限长的，若它既是Noether的，又是Artin的。请注意：这个定义是由数学家Strongart在此第一次独立提出的，假若在其他文献上也看到Noether算子之类的名词，其含义很可能与这里完全不同。仔细读者想必发现，这里的术语Noether与Artin并不是直接与环论中链条件对接的，这里我来稍微分析一下：1）环论中是子模的链条件，直接对应的应该是子空间，而这里取的核空间与像空间只是特例。其实，我们完全可以尝试推广于

4、其他子空间，比如算子Y的不变子空间。2）环论中考虑链条件是整体性质，而这里则是关于某个算子T的链条件。其实，这个思想是有启发的，我们是不是可以反作用到环上，也来定义环内某个元素的链条件呢？下面我们来看Noether算子与Artin算子的几个常见例子：1）设T是Banach空间上的紧算子，则I-T是有限长的。2）Hilbert空间上的非平凡投射算子既是Noether的又是Artin的，其升降指标均为1.3）l^2上的左移位算子L是Artin的，但不是Noether的；右移位算子R是Noether的，但不是Arti

5、n的；L与R的算子直和既不是Noether的又不是Artin的。受这样的例子启发，我们可以提出如下猜想：设T是Banach空间（可以稍微减弱一点吗？）上的有界线性算子，则1）T是Noether的iffT*是Artin的。2）T是Artin的iffT*是Noether的。对于有限长算子，我们也有类似的Fitting分解：1）只要向量空间X上的算子T满足有限长条件，则有α（T）=δ（T）=p且X=N（T^p)⊙R(T^p).2）当X是Banach空间时，这就构成了幂零算子与可逆算子的分解，并且此分解还是唯一的。3）

6、借助这个唯一性，可得T*的升降指标也都是p。也有α（T*）=δ（T*）=p且X=N（T*^p)⊙R(T*^p).对此可以参考Abramovich&Aliprantis的AnInvitationtoOperatorTheory的2.2节及其习题。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯

7、救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。