泛函分析中的定理new

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1、第四章习题课基本内容1．线性有界泛函满足，线性．若，．——称f有界．2．线性有界泛函的范数．．共轭空间（Banach空间），，，．基本定理：①延括定理：是线性子空间，是线性有界泛函，则，使（ⅰ）当时，；（ⅱ）．②两个推论：（Ⅰ）（Hahn—Banach定理）设l.n.s，，，则，，．（Ⅱ）设l.n.s，是线性子空间，，，则，满足（ⅰ），；（ⅱ）；（ⅲ）．3．线性有界算子，——l.n.s，线性子空间，满足．1．线性有界算子，算子范数．2．基本定理引理：（开映射原理）：若，是Banach空间，，且，则T为开映射．①逆算子定理：设，都是Banach空间，满射，可逆的线性有界算

2、子，则T的逆算子是有界算子．②闭图像定理：设，都是Banach空间，是闭算子，其中是的闭子空间，则T是线性有界算子．③共鸣定理：设是Banach空间，是l.n.s.是一族的线性有界算子，则有界，有界．3．强收敛与弱收敛①l.n.s中的点列的强、弱收敛．（ⅰ）若，称强收敛于，记为；（ⅱ）若，，称（弱收敛）．②有限维空间中，强弱收敛等价．③弱收敛的判别（等价条件）（ⅰ）有界；（ⅱ）（稠密），使，．④算子列的各种收敛性：（ⅰ）一致收敛：；（ⅱ）强收敛：；（ⅲ）弱收敛：，，．特别泛函列：（ⅰ）强收敛：（对应一致收敛）；（ⅱ）弱收敛：（对应算子列强收敛）．1．共轭算子设，是同一数

3、域上的l.n.s.，，如果对任何，，都有或成立，就称是的共轭算子（也称伴随算子）．共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数）：设，是的共轭算子，则是的线性有界算子，且有．定理（共轭算子的性质）：（1）；（2）；（3）；（4）,则．2．自共轭算子H是Hilbert空间，若，．——自共轭算子．Th．（自共轭算子的充要条件）：H是复的Hilbert空间，T为自共轭算子，为实数．性质：（1）特征值为实数；（2）不同特征值的特征向量正交．投影算子：.（，，）．举例例1．设是，，则应某个内部非空的有界集为有界集。证：设（是的内部）有界，取（），令，有，因此可以推出因此有界。显然成立。例

4、2．设，是的稠密子空间，完备，则唯一的，使得。证：，取使。因故是中的列；由于完备，必存在，记为，这与的选取无关（事实上，若，取，，则为列，，则），这样就定义了一个算子，显然是线性的，且。由故，故。因，故，因此。若有某亦满足则，取，使，则，因此（唯一性得证）。例3．设，，，则存在无界线性算子。证：，可取线性独立的可数集可设取，定义算子：可以自然的扩张到（如。则可以表示，定义，则是一线性算子，，因故是无界算子。例4．设，。证明，求。证：显然。因此。另一方面，设是的标准正交基，则，，故=，故，故。例5．给定，令（，证明求。解：此题中，是固定的，成了“自变量”，（可见是线性算子

5、。由得；。取，得；。例6．设是空间，是一个单射，存在，使得，证明在中不是闭的。证：用反证法。若在中闭，则作为的子空间是一个空间，于是是一个线性等距同构（是单射，），由逆算子定理知，，这与以下事实相矛盾。例7．设是设，，，证明。证：定义算子均为空间），。若在中，在中，则必有=。于是由闭图像定理知，即得证。，故，即。例8．设是空间，是，，（），证明。证：，由，则。（事实上，，是有界的，，使（与有关，而与无关），作映射，然后再对应用共鸣定理可得。例9．设是一非零线性泛函，证明：（1）有界是闭子空间；（2）无界。证：。（1）若有界，则连续，因而是闭集（设，则，（2）反之，若无界

6、，则，使。今证（这会推出非闭，因而问题得证）。，有（），，这表明，故。