泛函分析(1)new

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1、第一章预备知识在微积分中,我们学习了黎曼积分,这种积分对微积分的建立和发展起了无可替代的作用.但是随着数学理论的发展,人们逐渐发现黎曼积分具有一定的局限性.首先,黎曼积分所讨论的都是比较“好”的函数,可积函数类不多;其次,极限与积分交换顺序要求函数列一致收敛这一相当强的条件;最后,我们知道微积分基本定理是微积分学的重要内容,但可微函数的导函数未必黎曼可积.为了克服以上问题,法国数学家Lebesgue放弃了对函数的定义域进行分割进而求和的方法,转而对函数的值域进行分割,并于1902年在其博士论文“积分、长度与面积”中建立了一套新的积分理论.这类积分

2、具有更广泛的适用范围和更好的应用价值,是黎曼积分的改进.泛函分析中涉及到的可积函数大都是Lebesgue可积的,本章将简单介绍Lebesgue积分相关理论.x1.1集合与点集首先简单介绍集合的概念和主要性质.定义1.1.1.具有某种特定性质的对象的全体称为集合.通常用大写英文字母A,B,X,···表示,集合中的元素用小写英文字母a,b,x,···表示.对于集合A,x∈A表示x是A的一个元素,当x不是A的元素时,用x/∈A（或x∈A）表示.定义1.1.2.假设A,B是两个集合,如果A中的元素都是B的元素,则称A是B的子集,记作A⊂B,或记作B⊃A.

3、如果A⊂B且B⊂A,称A等于B,记为A=B；如果A⊂B且A̸=B,称A是B的真子集.定义1.1.3.设A,B是两个集合,称由A与B中所有元素构成的新集合为A与B的并集(或和集),记为A∪B;称由A,B的所有公共元素构成的新集合为A与B的交集,记为A∩B,即A∪B={x

4、x∈A或x∈B},A∩B={x

5、x∈A且x∈B}.定义1.1.4.设A,B是两个集合,称由属于A不属于B的所有元素构成的新集12第一章预备知识合为A与B的差集,记为A−B(或AB),即A−B={x

6、x∈A且x/∈B}.特别地,若B⊂A,则称A−B为B关于A的余集,记为BC,若A=

7、R或不引起混A淆的情况下,可简记为BC.集合的并、交、差的运算具有下列性质：定理1.1.5.假设A,B,C是三个集合,则(1)A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;(2)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(3)(A−B)∩C=(A∩C)−(B∩C);(4)(C−A)−B=C−(A∪B);(5)A∪B=(A−B)∪(B−A)∪(A∩B);(6)A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C);(7)A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C).定义1.1.6.设A,B是两个集合,如果在A和B之间存在一一对应关系,则称集合A与集合B对

8、等,记作A∼B.如果集合A∼B,则称A与B具有相同的基数或势.显然,A∼A；若A∼B,则B∼A;若A∼B,B∼C,则A∼C.例1.1.7.证明集合(a,b)(a

9、∼N,则称A为可列集,否则称为不可列集.有限集与可列集统称可数集.凡与实数集对等的集合称为具有连续势.有两种常见的势,一种是自然数集的势,记为ℵ0,另一种是实数集的势,记为ℵ.定理1.1.10.一个集合可列的充分必要条件是它与N对等.定理1.1.11.任何无限集合都包含可列子集.定理1.1.12.有限个(可列个)可列集的并仍是可列集.任何一个无限集都包含一个无限真子集.一个集合同其真子集对等是无限集的一个特征.例1.1.13.全体有理数集合是可列集.证明令Q={x∈Q

10、x>0},Q={x∈Q

11、x<0},A={1,2,···,i,···},n∈+−

12、nnnn∪∞N.显然An为可列集.而Q+=An,所以Q+为可列集.同理,Q−为可列集.将n=1Q+,Q−的元素分别排列为Q+:a1,a2,a3,···,an,···,Q−:b1,b2,b3,···,bn,···,则Q中元素可以排列为Q:0,a1,b1,a2,b2,···,an,bn,···,所以Q是可列集.下面给出实直线R上的点集的概念.除非特别指出,我们后面讨论的集合均为R的子集．定义1.1.14.假设x0是一实数,δ>0,称开区间(x0−δ,x0+δ)是x0点的δ邻域,记为B(x0,δ).定义1.1.15.设A⊂R是一个非空集合,x0∈A,如

13、果存在B(x0,δ)⊂A,则称x0是A的一个内点;A的全体内点称为A的内部,并记为A◦;如果A=A◦,则称A为开集.4第一章预备知识定理