泛函分析1new

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1、加法，数乘范数完备性集合ሳልልልልልልሰ线性空间ሳልሰ赋范空间ሳልልሰBanach空间加法，数乘内积భ集合ሳልልልልልልሰ线性空间ሳልሰ内积空间（以ԡxԡ＝ۃx,xۄమ也是赋范空间）完备性ሳልልሰHilbert空间"൅":XൈX՜X"αൈ":ॲሺԹ,ԧሻൈX՜Xԡԡ:X՜ሾ0,൅∞ሻ:1ሻԡx൅yԡ൑ԡxԡ൅ԡyԡ;2ሻԡαxԡൌ

2、α

3、·ԡxԡ;3ሻԡxԡൌ0ฺxൌ0.ۄ,ۃ:XൈX՜ॲ:1ሻۃαx൅βy,zۄൌαۃx,zۄ൅βۃy,zۄ;2ሻۃx,yۄൌۃതതy,xതതതതۄ;3ሻۃx,xۄ൒0;4ሻۃx,xۄൌ

4、0ฺxൌ0.Th2.3ParallelogramLaw:ԡx൅yԡଶ൅ԡxെyԡଶൌ2ԡxԡଶ൅2ԡyԡଶ.Proof.ԡx൅yԡଶ൅ԡxെyԡଶൌۄyെx,yെxۃ൅ۄy൅x,y൅xۃ.Def.2.4Aisconvexiftx൅ሺ1െtሻyאA,׊0൑t൑1,׊x,yאA.Th2.5(闭凸集上的投影)设H是Hilbert空间，KH是非空闭凸集。则对任意hאH，存在唯一的k୦אK使得ԡhെk୦ԡൌinf୩אKԡhെkԡ.Pf.设ሺk୬ሻא୩fni՜ԡ୬kെhԡ.t.sKKԡhെkԡൌdistሺh,Kሻ.׶ԡk୬െk

5、୫ԡଶൌԡሺhെk୫ሻെሺhെk୬ሻԡଶൌ2ԡhെk୫ԡଶ൅2ԡhെk୬ԡଶെԡሺhെk୫ሻ൅ሺhെk୬ሻԡଶଶଶଶk୬൅k୫ൌ2ԡhെk୫ԡ൅2ԡhെk୬ԡെ4ฯhെฯ2k୬൅k୫׶K是凸的׵אK.2൑2ԡhെkԡଶ൅2ԡhെkԡଶെ4dଶ՜0asn,m՜∞୫୬׵ሺk୬ሻ是Cauchy列。׶H是完备的׵k୬՜k଴。׵hെk୬՜hെk଴,ԡhെk୬ԡ՜ԡhെk଴ԡ׵ԡhെk଴ԡൌd.׶K是闭集׵k଴אK.唯一性设ԡhെkଵԡൌinf୩אKԡhെkԡ，ԡhെkଶԡൌinf୩אKԡhെkԡ。׵ԡkଵെkଶԡଶൌԡሺhെ

6、kଶሻെሺhെkଵሻԡଶଶଶଶkଵ൅kଶൌ2ԡhെkଵԡ൅2ԡhെkଶԡെ4ฯhെฯ2൑2ԡhെkԡଶ൅2ԡhെkԡଶെ4dଶ＝0。ଵଶTh2.6设H是Hilbert空间，KH是闭线性子空间。则对任意hאH，存在唯一的k୦אK使得hെk୦٣K.Th2.11IfHisaHilbertspace,MٌHisalinearmanifold,thenMഥൌHifandonlyifMൌሼ0ሽ.Th3.4(RieszRepresentationTheorem)设H是Hilbert空间,f:H՜ॲ是线性连续泛函。则存在唯一h୤א

7、h׊,ۄ୤h,hۃൌሻhሺf得使HאH,且ԡfԡൌԡh୤ԡ.