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时间:2019-03-06
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1、加法,数乘范数完备性集合ሳልልልልልልሰ线性空间ሳልሰ赋范空间ሳልልሰBanach空间加法,数乘内积భ集合ሳልልልልልልሰ线性空间ሳልሰ内积空间(以ԡxԡ=ۃx,xۄమ也是赋范空间)完备性ሳልልሰHilbert空间"":XൈX՜X"αൈ":ॲሺԹ,ԧሻൈX՜Xԡԡ:X՜ሾ0,∞ሻ:1ሻԡxyԡԡxԡԡyԡ;2ሻԡαxԡൌ
2、α
3、·ԡxԡ;3ሻԡxԡൌ0ฺxൌ0.ۄ,ۃ:XൈX՜ॲ:1ሻۃαxβy,zۄൌαۃx,zۄβۃy,zۄ;2ሻۃx,yۄൌۃതതy,xതതതതۄ;3ሻۃx,xۄ0;4ሻۃx,xۄൌ
4、0ฺxൌ0.Th2.3ParallelogramLaw:ԡxyԡଶԡxെyԡଶൌ2ԡxԡଶ2ԡyԡଶ.Proof.ԡxyԡଶԡxെyԡଶൌۄyെx,yെxۃۄyx,yxۃ.Def.2.4Aisconvexiftxሺ1െtሻyאA,0t1,x,yאA.Th2.5(闭凸集上的投影)设H是Hilbert空间,KH是非空闭凸集。则对任意hאH,存在唯一的k୦אK使得ԡhെk୦ԡൌinf୩אKԡhെkԡ.Pf.设ሺk୬ሻא୩fni՜ԡ୬kെhԡ.t.sKKԡhെkԡൌdistሺh,Kሻ.ԡk୬െk
5、୫ԡଶൌԡሺhെk୫ሻെሺhെk୬ሻԡଶൌ2ԡhെk୫ԡଶ2ԡhെk୬ԡଶെԡሺhെk୫ሻሺhെk୬ሻԡଶଶଶଶk୬k୫ൌ2ԡhെk୫ԡ2ԡhെk୬ԡെ4ฯhെฯ2k୬k୫K是凸的אK.22ԡhെkԡଶ2ԡhെkԡଶെ4dଶ՜0asn,m՜∞୫୬ሺk୬ሻ是Cauchy列。H是完备的k୬՜k。hെk୬՜hെk,ԡhെk୬ԡ՜ԡhെkԡԡhെkԡൌd.K是闭集kאK.唯一性设ԡhെkଵԡൌinf୩אKԡhെkԡ,ԡhെkଶԡൌinf୩אKԡhെkԡ。ԡkଵെkଶԡଶൌԡሺhെ
6、kଶሻെሺhെkଵሻԡଶଶଶଶkଵkଶൌ2ԡhെkଵԡ2ԡhെkଶԡെ4ฯhെฯ22ԡhെkԡଶ2ԡhെkԡଶെ4dଶ=0。ଵଶTh2.6设H是Hilbert空间,KH是闭线性子空间。则对任意hאH,存在唯一的k୦אK使得hെk୦٣K.Th2.11IfHisaHilbertspace,MٌHisalinearmanifold,thenMഥൌHifandonlyifMൌሼ0ሽ.Th3.4(RieszRepresentationTheorem)设H是Hilbert空间,f:H՜ॲ是线性连续泛函。则存在唯一hא
7、h,ۄh,hۃൌሻhሺf得使HאH,且ԡfԡൌԡhԡ.
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