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1、泛函分析漫谈郭坤宇复旦大学数学科学学院1人类进步通常是由认识自然的渴望所驱动的。这种探求事物的本质、追根溯源的努力，远远超过了单纯满足生存需求和提高生活质量的要求。当然，这并不是说所有人都会主动去追寻自然奥秘，研究抽象的数学命题。为了生存而整日奔波忙碌的芸芸众生，几乎不可能有时间奢侈地思考人生的意义。然而，人类历史上却始终不乏先驱来思考万事万物的根源，探寻自然界的构成方式和法则。数学先驱为我们创造的泛函分析这门学科，打开了通向现代数学之门（M.Livio《数学沉思录》）。2泛函分析（FunctionalAnal
2、ysis）是20世纪30年代形成的一个数学分支，隶属于分析学。主要研究无限维空间（具有各种拓扑）的结构、它们之间的映射以及映射的微积分。另外，也研究各种子集的解析结构、几何结构和拓扑结构。泛函分析是一门综合性很高的数学分支,它的诞生和发展受到数学的抽象化、公理化以及量子物理的推动.由于它的高度抽象化,其概念和方法广泛地渗透和应用到数学的各个分支以及自然科学和技术科学。3 经典的泛函分析综合运用函数论、几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作数学分析、高等代数和解析几何到无限维
3、向量空间的推广，被认为是无限维空间上的数学分析和高等代数的综合。Banach是经典泛函分析理论的一个主要奠基人;数学家、物理学家Volterra对泛函分析的广泛应用有重要贡献。现代泛函分析已演变成一个庞大的数学体系。仅就Hilbert空间上算子的研究而言，其上算子结构和性质的研究形成算子理论、其上由算子生成代数的研究又形成算子代数，就这两个密切相关的研究领域，掌握和了解这两个领域的进展和方法已变得十分困难41.从数分、高代谈起I.数学分析研究区间⟨a,b⟩上函数的连续性、可微性以及Riemann积分理论。我们见
4、到的函数多半是初等函数和它们的复合，如y=sinx,y=ex,y=lnx,···等。这形成了数学分析中一元函数理论。5研究一个平面区域Ω上的两元函数的连续性、可微性以及重积分理论，就形成了数学分析中二元函数理论。一般地，研究实n-维空间Rn中区域Ω上的n元函数的连续性、可微性以及积分理论就形成了多元函数理论。6略过实数的构造，数学分析的起点是“函数连续性”的概念；函数连续性的概念源自“极限理论”；极限理论立足于“距离”，也称为度量。在直线R上，d(x,y)=
5、x−y
6、.在Rn上，√d(x,y)=(x1−y1)2
7、+···+(xn−yn)2.因此，“度量”是分析数学中十分本质的概念。7度量的性质：i).d(x,y)≥0,并且d(x,y)=0iffx=y;ii).d(x,y)=d(y,x)[对称性]iii).d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)[三角不等式].8II.高等代数研究有限维空间之间的线性变换及其性质，本质上归结为矩阵理论。V是实（复）的n维线性空间，选定基{e1,···,en}后，那么VnnrR,VcC.W是m维线性空间，选定基{e′,···,e′m}.1设A:V→W是一个线性变换，Ae′′i=ai1e
8、1+···+aimem,i=1,···,n.9′e1a11a12...a1me1e2a21a22...a2me′A..=..........2......enan1an2...anme′m.∑当x=nxiei∈V,i=1′a11a12...a1me1a21a22...a2m
9、e′Ax=(x1,···,xn)..........2......an1an2...anme′m.高等代数：有限维空间之间的线性变换及其性质矩阵理论。10数学分析+高等代数=限维空间上的分析+线性代数泛函分析数学分析+高等代数+几何到无限维空间上的推广，或者说，无限维空间上的分析+代数+几何。112.度量空间实直线上分析的许多思想可以推广到度量空间(也称距离空间)。度量空间:设X是一个非空集，X上的一个度量d:X×X→R+是指它满足以下三条公理：
10、(i)d(x,y)≥0,且d(x,y)=0iffx=y;(ii)d(x,y)=d(y,x);(对称性)(iii)d(x,z)≤d(x,y)+d(x,y).(三角不等式)数d(x,y)称x到y的度量。Rn中两点的距离是度量概念产生的原型。121.在直线R上，d(x,y)=
11、x−y
12、.在Rn上，√d(x,y)=(x1−y1)2+···+(xn−yn)2.2.在n维复空间Cn={z=(z1,
