yang泛函分析new

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1、不动点定理及其应用摘要：不动点定理是20世纪数学发展中的重大课题，其影响遍及整个数学界。此定理涉及数学分析、拓扑学、非线性分析等多种问题，运用不动点定理，可以解决数学中出现的许多问题，简单、方便、实用。本论文以介绍布劳威尔不动点定理为主线，详细研究迭代法的思想，简介不动点定理的起源和基本内容，考虑了连续函数和单调函数的不动点问题，最后研究了不动点定理在数列极限中的应用。关键词：不动点定理、迭代法、函数、数列极限不动点定理的产生是数学发展史上的一次重大突破，它涉及诸多数学分支，其应用十分广泛，相关领域的研究至今仍呈现勃勃生机。数学

2、中的许多重要的定理，如隐函数定理、微分方程解的存在性定理等，都可以用不动点定理给出简洁的证明。本论文简单粗浅地介绍了对不动点定理的认识、理解，以及它的应用。一、不动点理论的起源定义1函数的定义域为，如果存在，使得，则称为的不动点。古老的代数方程求根，可以转化为不动点问题，设是多项式，令，那么解方程等于解。若满足，即是关于的不动点，那么正是方程的根。一般地，考虑上定义的连续函数，那么的不动点也是的根，这时若取定，作迭代：如果收敛，，那么由于也是连续函数，将有，于是我们得到。是的不动点，于是成为的根。这种用迭代法求不动点的思想，当然

3、早就有了，它并非20世纪的产物。真正引人注目的不动点理论起源于荷兰数学家布劳威尔的工作。这位直觉主义数学哲学的创始人也是一位拓扑学家，1909年开始，他以《曲面上一对一的映为自身的连续映射》为题发表了一系列论文，创立了不动点理论。现在以他的名字命名的布劳威尔不动点定理是：定理1平面内闭单位圆盘上映为自身的任何连续映射，至少有一个不动点。用初等数学可以这么理解：连续映射的定义域包含值域，则至少存在一个使得。这个定理惊动了整个数学界，它的假设甚少：任何闭单位圆盘上的映入自身的连续映射都行，可是结论十分明确、丰富：至少有一个不动点。二

4、、不动点定理设（X,d）是完备距离空间，T是X倒X中的映射，如果存在自然数n0，使得对所有x，y∈X，d（Tn0x,Tn0y）≤θd（x，y），其中，0≤θ〈１，则T有惟一的不动点.证由题设Tn0满足（压缩映射原理）的条件，于是由该定理，Tn0有惟一的不动点x0，所以只需证明x0是T的惟一不动点.由于TN0（Tx0）=T（Tn0x0）=Tx0，Tx0也是Tn0的不动点，但是Tn0的不动点是惟一的，所以Tx0=x0即x0是T的不动点.设x01也是T的一个不动点，则Tn0x01=Tn0-1x01=…=x01，即x01也是Tn0的不动

5、点.由于Tn0的不动点是惟一的，所以x01=x01连续函数的不动点定理2设是定义在上的连续函数，且满足，则必存在，使。　证明作函数。如或，则或即为定理要求的，定理已成立(此时将有或)。由条件知，。故只需再在和的情形下证明定理。由于是连续函数，故也是连续函数。因此当由出发变到时，将从正值连续地变到负值，所以必至少有一点，使这正是。现在我们对这一定理作些说明：（1）一个将某集映到自身中的映射称为自映射，定理中的是集合上的自映射。（2）设是上的映射，且值域，若，且，则称为在中的一个不动点。（3）不动点不必唯一，如下图1、2中就分别画出

6、了三个不动点。图1图2（4）并非所有函数都存在不动点。在上连续的函数，或者值域包含，或者值域含在中，均存在不动点，而其它情形则不一定有不动点。（参见下图3、4、5）图3的值域包含，图4的值域含于之中，有一不动点c。有一不动点。图5的值域既不含于，也不包含，没有不动点。2单调函数的不动点定理3设是在上有定义的单调不减函数，其值域含在之中，则在至少有一个不动点。证明让我们考察集合,由于的值域含在中，故,这说明非空，记为集的上确界，显然。下面证是的不动点，即。先证。任取，即。因为，单调不减，故，于是，（对任何均成立），这表明是的一个上

7、界，是的上确界，所以。再证，由于的值域含于中，故,再由及的单调不减性，可得，从而。前已证，根据的单调不减性可知，,这表明，但是的上确界，故。综上，可知是的不动点。由证明可知还是的最大点，如令，记是的下确界，同理可证是的最小不动点。注意，上述定理中单调不减的条件不能换成单调不增。例如，上的函数是单调不增，它没有不动点，从下图6可看出它和没有交点。图63函数的不动点的相关结论关于函数的不动点有如下几个结论:（1）函数如有不动点，不动点必为函数的图像与直线的交点。（2）函数有不动点且有反函数，则反函数与函数有相同的不动点。（3）奇函数

8、如有不动点，则点也是它的不动点。（4）函数,,,有两个关于原点对称的不动点的充分必要条件是,。证明设是的一个不动点,是它的另一个不动点,则，整理得①由题意，方程①有两个根，绝对值相等，符号相反，故，，所以，且。（5）若定义在实数集上的奇函数存在(有限)个不动点，