泛函分析总复习new

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1、泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设是中的有界闭集，映射满足。求证在中存在唯一的不动点。证明：因为，所以。再由三角不等式，得到。由此可见，在上连续。因为是中的有界闭集，所以，使得。如果，那么就是不动点。今假设。根据假设，我们有。但是，这与是最小值矛盾。故，即存在不动点。不动点的唯一性是显然的。事实上，如果存在两个不动点，，则从即得矛盾。2、对于积分方程，其中为一给定函数，为常数，，求证存在唯一解。证明：考虑由则原方程等价于。令，则11，即是压缩映射，压缩常数为，因而有唯一的不动点，即积分方程在有唯一解，从而原方程在上有唯一解。

2、3、设M是C[a,b]中的有界集，求证集合是列紧集.证：设，，，即E一致有界.又，,即E等度连续.由定理13结论得证.4、求证在中不是列紧的.证：只要证非等度连续.对，使得，.由此可见，非等度连续.5、设是距离空间，M是中的列紧集，若映射满足，求证上存在唯一的不动点。证：记.先证存在，使得（1）这从下确界的定义出发.,使得.又因为M列紧，故存在.将上面不等式中的改为，即11，并令，（1）式得证。再证d=0.用反证法.如果，则有，矛盾。6、设是一个紧距离空间，又，E中函数一致有界并满足：,其中.求证E在中是列紧集。证：，取，当时，，所以

3、E是等度连续的，因此E是列紧集。注：.7、在中，对每个，令，。求证是中两个等价范数。证明：显然。考虑8、设表示上连续且有界的函数全体，对于每个，定义（1）求证上的范数；（2）若，求证上的范数是不等价的。11证明：不妨假设，显然有，由此可见，为了证明不等价性，只要证不存在只需证，使得，因为：，，，，。9、设(X,

4、

5、·

6、

7、)是一线性赋范空间，M是X的有限维子空间，{e1,e2,...,en}是M的一组基，给定gÎX，引进函数．规定F(c)=F(c1,c2,...,cn)=(1)求证F是一个凸函数；(2)若F的最小值点是c=(c1,c2,

8、...,cn)，求证给出g在M中的最佳逼近元．证明：(1)根据凸函数的定义，考虑=

9、=11故F是一个凸函数．(2)对一一对应有，使，。10、设是空间，是的线性子空间，假定，使得，。求证：在中稠密。证明：考虑，。用反证法证明。若，由Riesz引理，对，使得，并且。于是取，便有，矛盾。11、1112、1113、14、1115、设是Banach空间，是满射，求证：如果在中，则与，使且证：设考虑映射（1）证是单射，事实上，（）11故是单射。（1）事实上，由条件A满射推出，对，使得，从而。故满射。（2）证有界，事实上，以为对，我们有，由此推出有

10、界。（3）由Banach逆算子定理，。（4）证时的理论。事实上，如果，记则有注意到这个结论与要证的一般结果十分相似，其中相当于C，下面要做的事就是“过河拆桥”，将中的[]去掉。事实上，根据第一章4例13的（2），可取，使得。进一步，从既知.令，C=2，则有，C=2，即已经证明了情形下的结论。（5）证时的结论，事实上，设，记，，则有11取满足；同时取，满足这样，并有，进一步，对，应用（5）一步结果既知其中C=2由此可知最后，再想办法将折合到上去，事实上，因为，所以，使得对，有由此推出联合不等式（1），（2）既知16、1111