strongart数学笔记：going up与going down

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1、GoingUp与GoingDown在整性扩张理论中，Going-up(GU）与Going-down（GD）是关于素理想链的两个很有意思的定理，下面我就来对它们做一点评述。讨论的基本前提是“整环R与S，S包含R且在R上为整”，这并不是最一般的情况，但已经能够说明其本质问题，下文中若无特别声明，均默认此约定。处理GU与GD的基础是LyingOver（LO），称S的素理想Q是Lyingover于R的素理想P，若Q∩R=P.所谓LO问题，就是给定R的素理想P，是否存在S的素理想Q是LO于其上？事实上，在上述的约定条件下，LO是成立的。在证明这个结论之前，我先注记一

2、下它的反问题（LU=Lyingunder？）是平凡成立的，即给定S的素理想Q，Q∩R一定是R的素理想。一般而言，pushout是有风险的，往往需要考虑像是不是保持原先的性质；但pullback却是保守的，相应性质常常可以自然保持。这里扩张的整性使得S的素理想在pullback后会退化成R本身。LO的证明思路是归约，一个是商的划归，另一个则是局部化归约。为此有这样的引理，假若S的素理想Q是LO于R的素理想P上，那么相应的商S/Q是R/P的整扩张，相应的局部化SQ也是RP的整扩张。可以证明，在基本前提上，R是域iffS是域。借助于商归约可得若Q=P∩R，则Q是

3、极大理想iffP是极大理想。再对P进行局部化归约，可以证明S中LO于同一素理想P是两个素理想Q1与Q2没有包含关系（弱唯一性），这是因为在局部环RP中PRP是极大理想，所对应的QSP（=Q（R-P）^(-1)S)也是极大理想，因此是不能相互包含的。同样利用对P的局部化，可以通过拉回SP的LO于PRP的极大理想来构造出LO于P是素理想Q，这里极大理想的存在性是一个重要的援兵，而它的背后则是Zornlemma。所谓GU，就是说在基本条件下，假设S的素理想Q是LO于P，若R的素理想P1包含P。则必有S的素理想Q1包含Q，其证明只要分别P与Q取商，就可以转化为LO

4、的问题。也就是说，GU无非就是LO的一个商形式的推论。实际上，这个过程可以一直延续下去，得到两条对应的素理想链，因此它有着重要的几何意义，说明了具有整扩张关系的两个环（这里不一定非要是整环）的Krulldim是相同的。假若反过来让P包含P1，那就相应包含于Q是素理想Q1的存在性问题就被称为GD。GD也有其几何意义，它说明了在基本条件下具有LO关系的两个素理想的高是相同的。可一般而言，GD却不是平凡成立的，往往需要更强的附加条件。对于GD而言，对P与Q商归约是不可行的，因为所需要的信息都包含在分母之中，那么做局部化又如何呢？事实上，确实有一类GD条件可以通过

5、局部化方式来给出。为此我们要使用忠实平坦模的概念。M是忠实平坦模定义为J是正合列当且仅当M⊙J是正合列，由此可得若M是忠实平坦R-模,则M⊙A是忠实平坦A-模。此外，我们还有一个标准命题：忠实平坦R-模iffM是平坦模，并且对R的极大理想P，PM≠M.这样，若f：R→S是忠实平坦的环同态（这里稍微超出一点开头提到的基本条件）ifff是平坦的且f#:Spec(S)→Spec（R）是满射，即LO成立。下面只证与主题有关的必要性部分：给定R的素理想P，取上述A=RP，则有SP在RP上忠实平坦，利用标准命题得到PSP≠SP，再对包含PSP的极大理想做拉回即可。通过

6、上述讨论，我们有若f：R→S是平坦的，则由上述标准命题，可得f:RP→SQ是忠实平坦的，这样便成立关于它们LO关系，注意到局部化后的素理想一一对应与分母因子不交的素理想（这是一个常识命题，在前面的讨论中已经隐藏用到），这实际上就已经是GD的结论了。更加值得注意的是，这里我们根本没有用到整扩张的性质，而是引入了一个模结构，它与原先的环结构相配合，便可以得到一个代数结构，因此GD成立的第一个条件就是S是平坦R-代数。一般而言，我们还是希望在环扩张的意义上考虑GD，同时也确实存在着这样的条件，那就是要求R是整闭的。对此的初等证明可能也是受了局部化的启发，主要是证

7、明P1=P1SQ∩R，实际上就是素理想P1在SQ中先扩张后限制。这个证明并没有太大难度，但其中的技术环节比较多，我这里就不再罗嗦了，有兴趣可以参阅AnintroductiontoCommutativeAlgebrabyAtiyah，有中译本《交换代数导引》（M·F·阿蒂亚I·G·麦克唐纳）。下面我要提到的是稍微高级一点的证明，其中主要用到了GaloisTheory.我们可以建立一个引理，它是LO唯一性结论的一个强化版：若R整闭，K是R的分式域，L是K的正规扩张，那么对R在L中的整闭包T，相应LO于R的同一素理想P的两个素理想Q1与Q2可以通过某个σ∈Gal

8、（L/K）来搬运。证明的主要思想（这里不考虑无限扩张等等枝节问题）