差分微分模上多个序的grobner基及多变量维数多项式

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1、系统科学与数学J．Sys．Sci．＆Math．Scis32(8)(2012，8)，964—975差分一微分模上多个序的GrSbner基)I<及多变量维数多项式刘兰兰qE京航空航天大学数学与系统科学学院，dL．7,100191；贵州民族大学理学院，贵阳550025)周梦(北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191)摘要基于2008年Zhou和Winkler给出的计算有限生成的差分一微分双滤模的希尔伯特多项式的算法，文章构造了差分一微分模上相对多个序的的QrSbner基，并给出和证明了计算这种Gr6bner基的算法．作为其应用，给出了计算差分一微分模的多变量维

2、数多项式的新算法．推广了Zhou和Winkler(2008)所得结果，也推进了Levin(2007)所得结果．关键词GrSbner基，广义项序，差分一微分模，维数多项式MR(2000)主题分类号47C051引言GrSbner基是解决各种多项式理想问题的一个有效工具．已有很多研究者把Gr6bner基用于微分代数和差分一微分代数的研究中．如Zhou和Winkler[1I，Levin[2I，Noumi[3]，Takayamal4]，Oaku和Shimoyama[5]，CarraFerro[6)，Insa和Pauer／7]，Pauer和Unterkircher[8]，Lev

3、in[91、Zhou和Winkler[10]等，对于各种微分算子环和差分一微分算子环上自由模的GrSbner基做了相当深入的研究．Levin[2】把Gr6bner基方法推广为Ore多项式环的自由模上关于多个序的GrSbner基理论．Levin把Ore多项式环D作成一个P一维滤的滤环，他引入了自由D模的一种特殊约化方法并把它用于Gr6bner基的构作．由此可得到计算多变量差分一微分维数多项式的算法，但是在(2]中差分算子是不可逆的．在[1]中作者引入了另一种,Hx,t约化的概念，并由此构造了相对Gr6bner基用以计算差分算子可逆时两个变量的差分一微分维数多项式．相对

4、GrSbner基的概念是基于N×驴上的两个广义项序，所引入的相对约化更为直观．4国家自然科学基金(10871017)，北京市自然科学基金(1102026)资助项目收稿日期：2011—12—16，收到修改稿日期：2012—03—12．万方数据8期刘兰兰等：差分一微分模上多个序的GrSbner基及多变量维数多项式965本文引入了Nm×zn上相对于多个广义项序的GrSbner基概念，定义了多个项序的差分一微分算子环上自由模的一种与[2]不同的特殊约化，给出了构造这种GrSbner基的算法及算法的证明．利用相对于多个广义项序的GrSbner基，可以计算在差分算子可逆情形下差

5、分一微分模的多变量差分微分维数多项式．本文结论把Levin[2]对Ore多项式环的结果推进到含差分逆的Laurent—Ore多项式环，同时也是对Zhou和Winkler[1J结论的推广．本文由4部分组成．第l部分是引言，第2部分为预备知识．第3部分给出了关于多个序的特殊约化算法和相对多个序的GrSbner基算法．第4部分给出计算多变量差分一微分维数多项式的算法．2预备知识定义2。1令R是交换的Notherian环，A={巧1，62，，6。)和∑={O"1，盯2，，盯。>分别是环R上的导子集和自同构集，对任意的d，卢∈△U∑都有Q。卢=卢。a，则称R为一个差分一微分环

6、或简称△一∑环．若R是一个域，则称为△一∑域．本文均假设R是△一艺域．△u∑生成一个自由交换半群以，其元素具有如下的形式A=6：1巧；2巧静盯i1盯挚．．．盯身，(1)其中(k1，昆2，，是。)EN”，(11，z2，-一，z。)Ez”，它包含了△生成的自由交换半群和∑生成的自由交换群．定义2．2R，以定义同上，由A生成的自由B模记为D，D中的元素具有如下的形式∑口AA，(2)^∈A其中只有有限个a入非零，凸)、∈R，入∈A，称为R上的差分一微分算子，简称△一∑算子．两个△一∑算子Eo^入和∑b入入相等当且仅当对于任意的入∈A都有o)、=6^．A一三A∈以入∈以环R上

7、的△一∑算子集合构成一个环，其运算关系如下∑nAA+∑6A入=∑(。A+b^)A，。(若A％入)2三(咖挑A∈入∈^(3)【6J(∑n入A)肛=Eo入(Ⅻ)，AEAAEAdn=a5+J(o)，aa=a(a)o-，其中a∈R，巧∈△，盯∈∑而且A∈A与系数。入∈R不可交换．D上的一个左模M称为差分一微分模(或△一∑模)，如果M是有限生成的左D模，就称M为有限生成△一∑模．定义2．3z“的子集簇{z∥，J=1，2，，尼)称为Z札的一个轨道分解，z∥称为此分解的第J轨道，如果乃=Uz∥，且对于所有的J=1，2，，南，以下3个条件成立。J=1i)(0，0，，o)Ez，而