涉及微分多项式和差分多项式的亚纯函数的唯一性.pdf

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1、第45卷第5期2015年5月中国海洋大学学报PERl0DICAL0F0CEANUNIVERSITYOFCHINA45(5)：131～138May．2015涉及微分多项式和差分多项式的亚纯函数的唯一性8李效敏，石悦，李岗(中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100)摘要：应用差分Nevanlinna理论研究亚纯函数及其移动算子或差分算子的1类非线性微分多项式分担1个非零公共值的亚纯函数的唯一性问题。本文结果部分回答了2009年方明亮提出的1个涉及微分多项式的亚纯函数唯一性问题，推广了LahiriE“、杨重骏和华歆厚一7一和方明亮[8]中的相应结果。关键词：差分多项

2、式；微分多项式；亚纯函数；唯一性定理中图法分类号：0174．52文献标志码：A文章编号：1672—5174(2015)05—131—08DOI：10．16441／J．cnki．hdxb．201302470引言及主要结果本文中所提到的亚纯函数是指整个复平面上的亚纯函数。设厂与g是复平面内2个非常数的亚纯函数。并假定读者熟悉Nevanlinna理论的基本概念[1]，例如T(r，厂)，m(r，厂)，N(r，厂)，N一(r，厂)等等。用E[(o，∞)表示线性测度有穷的集合，每次出现时可以不同。余项S(r，厂)表示S(r，厂)一0{T(r，厂)}(r一∞，r睡E)。设a是1个

3、有穷复数，如果厂一日与g—a具有相同的零点且每个零点的重数相同，则称厂与gCM分担a，如果／一以与g一以具有相同的零点而不计重数，则称厂与glM分担口；如果÷与{cM分担0，则称f与gCMJ5分担∞；如果÷与{M分担0，就称f与gIM分担J5∞[2]。另外还需要下述定义。定义1[3]设P是1个正整数并且。∈CU{。。)。以下用Np，(r，7三)表示f的重数不大于乡的n值点的计J¨重数的计数函数，N。，r，÷)表示相应的精简计数函J“数；用N(p(r，7三)表示，的重数不小于p的以一值点的计重数的计数函数N。。(r，士)表示相应的精简计√“数函数。假设k是1个非负整数

4、，记号Nk(r，÷)定义√“如下：1Nt◇，7乞’一N◇，—F兰+Nacz)(厂，7三’+⋯+r一以r一，一口N(^(厂，亡)。并定义文(口，厂)一1一limsupJ“p。。Nk(r，{)]瓦_≠r。显然0≤&(以，厂)≤&-i(口，厂)≤⋯≤&(n，厂)≤≤艿1(n，厂)一O(a，，)≤三1。1976年，杨重骏提出了下述问题：问题2[4]假设厂与g是2个非常数的整函数，规是一个正整数。如果厂与gCM分担0，fh’与g抽’刚分担1，并且28(0，厂)>1，那么，与g的关系如何?1990年，仪洪勋解决了问题2，证明了下述定理：定理3[5]假设厂与g是2个非常数的整函数

5、，咒是一个正整数。如果厂与gCM分担0，fh’与gh’伽分担1，并且28(0，厂)>1，那么f—g或者厂“’g抽’一1。1997年，ILahiri提出了下述问题：问题4c6]如果2个非常数的亚纯函数的非线性微分多项式CM分担1，那么这2个亚纯函数的关系如何?1997年，杨重骏和华歆厚研究了问题4，证明了下述定理：定理5[7]假设厂与g是2个非常数的亚纯函数，以是1个正整数满足九≥11。如果尸厂与g”g'CM分担1，那么厂与g满足下述2种情形之一：(i)厂一tg，其中t是1个常数，且满足t”一1；(ii)f—f。e“，g—f。r，其中f，c。和f。是非零常数，且满足(

6、clf2)升1c2一一1。2002年，方明亮证明了下述结果，在整函数条件下研究了问题4，证明了下述定理：定理6[8]假设厂与g是2个非常数的整函数，咒，k是2个正整数且满足卯≥2k+8。如果(尸(厂～1))娃’与*基金项目：国家自然科学基金项目(11171184；40776006)；国家自然科学基金中俄合作协定项目(10911120056)；山东省自然科学基金项目(Z2008A01；ZR2009AM008)资助。收稿日期：2013—05—29；修订日期：201407—12作者简介：李效敏(1967一)，男，副教授。Email：xmli01267@gmail．com中

7、国海洋大学报(旷(g～1))娃’叫分担1，那么f—g。2009年，方明亮在华东师范大学复分析会议上提出了下述问题：问题7假设厂与g是2个非常数的亚纯函数。行，k是2个正整数且满足卵>3k+11。如果(．尸(厂一1))强’与(旷(g一1))强’CM分担1，那么是否有f—g?截止到目前，问题7还没有得到彻底解决。近几年来RodneyHalburd-Rist0Korhonen[13]以及冯绍继与蒋翼迈[14]分别建立了差分Nevanlinna理论，ILaineandCYang[15]得到了涉及差分多项式的Clunie定理。应用这些理论，一些芬兰学者和中国学者开始了差分