涉及公共值和公共值集的亚纯函数的正规族.pdf

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1、第45卷第2期2015年2月中国海洋大学学报PERl0DICAL0FOCEANUNIVERSITY0FCHINA45(2)：138～142Feb．，2015涉及公共值和公共值集的亚纯函数的正规族+李效敏，王凯梅，郎涛(中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100)摘要：2007年刘晓俊与庞学诚首先研究了亚纯函数及其导函数分担1个具有3个元素的公共值集的正规族问题。2011年刘晓毅与常建明推广了刘晓俊与庞学诚的相应结果。本文将在刘晓毅与常建明的有关结果基础上，进一步研究亚纯函数及其导函数分担公共值集的正规族问题。本文结果进一步推广了刘晓俊

2、与庞学诚以及刘晓毅与常建明的有关结果。关键词：亚纯函数；公共值；公共值集；正规族中图法分类号：0174．52文献标志码：A文章编号：1672—5174(2015)02—138—05DOI：10．16441／j．cnki．hdxb．201302200引言及主要结果假设F是复平面上区域D内的一族亚纯函数。如果F中的任何一列函数都含有1个在D内按球面距离内闭一致收敛的子列，则称亚纯函数F在区域D内正规[3。4]。1992年Schwick[5]建立了1个与分担值相关的正规定则，开始了涉及公共的亚纯函数正规族理论的研究，该研究课题是亚纯函数正规族理

3、论的重要研究课题之一。假设厂和g是区域D内的2个亚纯函数，a是扩充复平面CU{oo}内的值。如果．厂(z)一a，zED，当且仅当g(2)=a，zED，则称厂和g在区域D内IM分担口。Schwick[51建立的正规定则表明：假设F是定义在区域D内的亚纯函数族，若对任意厂∈F，厂与厂，在区域D内IM分担复平面c上3个判别的有限值a，，a。，n。，则F在区域D内正规。后来，刘晓俊与庞学诚[1]改进了Schwickt5]的上述结果，证明了假设F是定义在区域D内的亚纯函数族，若对任意厂∈F，f(z)∈{a，，az，n。)并且zED，当且仅当厂(2)

4、∈{a，，a：，a。)并且zED，那么则F在区域D内正规。设S[C是非空集合，以下用lSI表示S内的判别的元素个数。最近，刘晓毅与常建明[z]推广了上述刘晓俊与庞学诚的结果，证明了述结果。定理1假设F是定义在区域D内的亚纯函数族，S。CC与s。cC是2个非空的有限集合。假设厂(z)∈S1并且z∈D，当且仅厂，(z)∈S1并且z∈D。如果下述条件之一成立，那么F在区域D内正规：(a)IS1J≥5；(b)』SlI≥3，并且IS2l≥3；(c)lS2I≥10。本文将推广上述定理1，证明下述3个定理。定理2假设F是定义在区域D内的亚纯函数族，5，

5、[C与Sz[C是2个非空的有限集合。假设．厂(z)∈S，并且2∈D，当且仅．严’(z)ES。并且2ED，其中志≥2，并且对任意a。ES∽厂一日，的每个零点重数≥是。如果IS-I≥4，那么F在区域D内正规。定理3假设F是定义在区域D内的亚纯函数族，S，cC与Sz[C是2个非空的有限集合。假设．厂(z)ES。并且z∈D，当且仅严’(2)ES，并且z∈D，其中忌≥2，并且对任意a，∈S，，厂一岔，的每个零点重数≥是。如果IS。J一3和lS。I≥3，那么F在区域D内正规。定理4假设F是定义在区域D内的亚纯函数族，S，cC与Sz[C是2个菲空的有限

6、集合。假设．厂(z)∈S。并且z∈D，当且仅f强’(z)ES，并且z∈D，忌≥2，并且对任意a。∈S。，f—a，的每个零点重数≥忌。如果1S。}≥10，那么F在区域D内正规。1几个引理本节将给出证明本文主要结果所需要的一些引理。假设．厂是复平面内的1个非常数的亚纯函数。并假定读者熟悉Nevanlinna理论的基本概念和记号[3。4]，例如T(r，厂)，m(r，厂)，N(r，力，N(r，．厂)等等。用符号Ec(o，oo)表示线性测度有穷的集合，每次出现时可以不同。余项S(r，厂)表示满足S(r，厂)一0(T(r，．厂))(r—c>o，r∈E

7、)的量。下面首先给出下述重要引理，称之为Zalcman—Pang引理[7]：引理1[7]假设F是区域D内的1个亚纯函数族，并且*基金项目：国家自然科学基金项目(11171184；40776006)；山东省自然科学基金项目(Z2008A01；ZR2009AM008；ZR2014AM011)资助收稿日期：2013—07—16；修订日期：2014—05—20作者简介：李效敏(1967一)，男，副教授。E-mail：xmli01267@gmail．corn2期李效敏，等：涉及公共值和公共值集的亚纯函数的正规族F中每个元素厂的每个零点的重数≥k，这

8、里忌是1个正整数，再设理是1个实数，且满足一1