亚纯函数差分算子与分担值.pdf

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1、第５４卷第３期中山大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．５４Ｎｏ．３２０１５年５月ＡＣＴＡＳＣＩＥＮＴＩＡＲＵＭＮＡＴＵＲＡＬＩＵＭＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＴＩＳＳＵＮＹＡＴＳＥＮＩＭａｙ２０１５ＤＯＩ：１０．１３４７１／ｊ．ｃｎｋｉ．ａｃｔａ．ｓｎｕｓ．２０１５．０３．０１０*亚纯函数差分算子与分担值曾翠萍（广东金融学院应用数学系，广东广州５１０５２１）摘要：研究了涉及差分算子分担值的亚纯函数唯一性问题。证明了亚纯函数族中两个一般形式的差分算子分担一个值的唯一性定理。关键词：亚纯函数；分担值；差分算子；唯一性中图分类号：Ｏ１７４．５２文献标志码：Ａ文章编号：０５２９－６５７９（２０１５）０３－００

2、５６－０４ＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＯｐｅｒａｔｏｒｓｏｆＭｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＳｈａｒｅｄＶａｌｕｅｓＺＥＮＧＣｕｉｐｉｎｇ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＧｕａｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＦｉｎａｎｃｅ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０５２１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｐｅｒａｔｏｒｓａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ．Ａｎｄｓｏｍｅｒｅｓｕｌｔｓｏｎｔｗｏｇｅｎｅｒａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｐｅｒａｔｏｒｓｏｆｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｓｈａｒｅｄａｖａｌ

3、ｕｅａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｈａｒｅｄｖａｌｕｅ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｐｅｒａｔｏｒｓ；ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ［２］（ｋ）本文采用通常的Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ理论中的记号，参定理Ｂ设ｆ和ｇ为两个整函数，满足ｆ见文献［１］。特别地，对于一个非常数亚纯函数和ｇ（ｋ）ＣＭ分担１，如果１ｆ，记Ｎ（２（ｒ，）为ｆ－ａ的重零点的计数函数；Ｎ（ｒ，１）＋Ｎ（ｒ，１）＜（λ＋ο（１））Ｔ（ｒ）ｆ－ａｆｇ１Ｎ１）（ｒ，）为ｆ－ａ的简单零点的计数函数；记其中０＜λ＜１，Ｔ（ｒ）＝ｍａｘ｛Ｔ（ｒ，ｆ），Ｔ（ｒ，ｇ）｝，则ｆ－ａ（ｋ）（ｋ）ｆｇ≡１或ｆ≡

4、ｇ。１１１Ｎ２（ｒ，）＝Ｎ（ｒ，）＋Ｎ（２（ｒ，）。［２］ｆ－ａｆ－ａｆ－ａ定理Ｃ设ｆ和ｇ为两个亚纯函数，满足设ｆ是复平面上的一个亚纯函数，ｃ是非零复ｆ（ｋ）和ｇ（ｋ）ＣＭ分担１，ｆ和ｇＣＭ分担∞。若数。我们称ｆ（ｚ＋ｃ）为ｆ的平移，称Δｃｆ（ｚ）＝ｆ（ｚ＋１１ｎｎ－１Ｎ（ｒ，）＋Ｎ（ｒ，）＋ｃ）－ｆ（ｚ）和Δｃｆ（ｚ）＝Δｃ（Δｃｆ（ｚ）），ｎ≥２分别为ｆｆｇ的一阶差分和ｎ阶差分。特别地，给出函数ｆ的差（ｋ＋２）Ｎ（ｒ，ｆ）＜（λ＋ο（１））Ｔ（ｒ）分算子的一般形式其中０＜λ＜１，Ｔ（ｒ）＝ｍａｘ｛Ｔ（ｒ，ｆ），Ｔ（ｒ，ｇ）｝，则Ｆｆ（ｚ）＝ｍ１ｆ（ｚ＋ｃ１）＋ｍ２ｆ（ｚ＋ｃ２）＋ｆ（

5、ｋ）ｇ（ｋ）≡１或ｆ≡ｇ。…＋ｍｋｆ（ｚ＋ｃｋ）（１）［３－４］２００６年，Ｈａｌｂｕｒｄ和Ｋｏｒｈｏｎｅｎ建立了一系其中ｋ为正整数，ｍｉ（ｉ＝１，２，…，ｋ）为复数，ｃｉ（ｉ＝列关于亚纯函数差分算子的对数导数引理和Ｎａ-１，２，…，ｋ）为互异的有穷复数。显然，平移及一阶ｖａｎｌｉｎｎａ定理。这使得原来涉及导数分担值的唯一差分、ｎ阶差分均为（１）的特殊形式。１９９４年，仪洪勋［２］证明了下面两个定理：性问题相应地可以转化为涉及差分分担值问题。近*收稿日期：２０１４－１２－１７基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１２７１０９０，１１２７１３７８）；广东省高校创新强校工程自主创新能力提升类

6、培育资助项目作者简介：曾翠萍（１９７２年生），女；研究方向：复分析；Ｅ-ｍａｉｌ：ｙｔｘｚｃｐ＠１６３．ｃｏｍ第３期曾翠萍：亚纯函数差分算子与分担值５７［５－８］年来也涌现了一批相关的结果。很自然地，我此例说明定理１中“Ｆｆ和Ｆｇ是ｆ和ｇ的非常数差们会问：若将定理Ｂ和定理Ｃ中ｋ阶导数分担值换分算子”这一条件是必需的。成ｋ阶差分分担值，结论是否仍然成立？我们证明２若干引理了更一般的结论。为了证明定理１，我们需要下列引理。１主要结果［９］引理１设ｆ（ｚ）是有穷级亚纯函数，ｃ是非定理１设ｆ和ｇ为两个有穷级亚纯函数，Ｆｆ和零复数，则Ｆｇ分别是ｆ和ｇ的非常数差分算子。如果Ｆｆ和ｍ（ｒ，ｆ（ｚ＋ｃ）

7、）＝Ｓ（ｒ，ｆ），ｆ（ｚ）ＦｇＣＭ分担１，ｆ和ｇＣＭ分担∞，且１１ｍ（ｒ，ｆ（ｚ））＝Ｓ（ｒ，ｆ）Ｎ（ｒ，）＋Ｎ（ｒ，）＋（５ｋ－１）Ｎ（ｒ，ｆ）ｆ（ｚ＋ｃ）ｆｇ＜（λ＋ο（１））Ｔ（ｒ）引理２设ｆ和ｇ为两个有穷级亚纯函数。如其中０＜λ＜１，Ｔ（ｒ）＝ｍａｘ｛Ｔ（ｒ，ｆ），Ｔ（ｒ，ｇ）｝，则果两个非常数差分算子Ｆｆ和ＦｇＣＭ分担１，则下面ＦｆＦｇ≡１或Ｆｆ≡Ｆｇ。的（ｉ）式或（ｉｉ）式必有一个成立。作为定理１的特殊情形，我们得到以下