Abelian π-正则环的理想准素分解.pdf

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1、浙江大学学报(理学版)第41卷第4期JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition)2014年7月http：／／www．journals．zju．edu．cn／sciAbelian万一正则环的理想准素分解卢建伟(沈阳工业大学理学院，辽宁沈阳110870)摘要：证明了Abelianr正则环的每个理想均为一些准素理想的交．并进一步证明了一个Abelian正则环R的理想具有准素分解当且仅当R只有有限个完全素理想．关键词：Abelian环；7r正则环；完全素理想；准素理想中图分类号：O153文献标志码：A

2、文章编号：1008-9497(2014)04—373—03LUJianwei(DepartmentofMathematics，ShenyangUniversityofTechnology，Shenyang110870，China)PrimarydecompositionsoftheidealsofAbelianz-regularring．JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition)．2O14，41(4)：373—375Abstract：AssumethatRisanAbelian7r-regu

3、larring．WeprovethateveryidealofRistheintersectionofsomepn一maryidealsofR．Further，weprovethateachidealofRhasprimarydecompositionifandonlyifthenumberofcompletelyprimeidealsofRiSfinite．KeyWords：Abelianrings；zr-regularring；completelyprimeideals；primaryideals本文中，所有环均指具有幺元素的结合

4、环，且环为R的完全素理想，则卜卜E(P)P为R的准素理想，的理想是双边理想．用E(R)、C(R)、J(R)、Nil(R)并给出了以下2个结论．分别表示环R中的所有幂等元构成的集合、R的中定理A设R为Abelian矿正则环，为R的理心、R的Jacobson根及R的所有幂等元构成的集合．想，M为R的所有完全素理想构成的集合，则j如果E(R)(==C(R)，称环R为Abelian．对于任意的—n(+E(P。)P)．PC-M口aER均存在32∈R使得n—asca，则环R称为正则定理B若尺为Abelian7r正则环，则R的每个理想环．对于任意的

5、aER均存在正整数及z∈R使具有准素分解的充要条件为R只有有限个完全素理想．得a一azn”，则环R称为丌～正则环．对于任意的a，bER，ab∈Q均存在正整数使得a”EQ或b”E1主要结论Q，则环R的理想Q称为准素理想．对于任意的a，b∈R，∈P均有aEP或b∈P，则环R的理想P引理1设R为Abelian7广正则环，口ER，若Ⅱ称为完全素理想．为R的理想，用RadI表示包含I一asea，其中为一正整数，ER，则对于任意的的所有完全素理想的交．正整数m>n，都存在YER使得一amya．什么样的理想具有准素分解是交换环论中令人证明只需证明存

6、在ER使得a一感兴趣的问题，本文将这一概念推广到Abelian环an+Ya抖．设e—a，则eEE(R)c二C(R)，a=上去．环R的理想I称作具有准素分解，是指==：Qea”，于是n井一井=a升一a”z计==：∞：口井=a2nscnnQn⋯nQ，其中Q为R的准素理想．本文首．记Y一日，则口一an+Yan+．命题得证．先证明若R为Abelian7广正则环，为R的理想，P引理2设R为Abelian正则环，I为R的理收稿日期：2013-0826．基金项目：国家自然科学基金资助项目(61074005)．作者简介：卢建伟(1965一)，男，硕士

7、，主要从事群、环研究，E—mail：jianweil91@sohu．com374浙江大学学报(理学版)第41卷想，P为R的完全素理想，若+E(P)P≠R，则+下面的结论即为定理A．E(P)P为包含J的极小准素理想．定理1设R为Abelian7r正则环，为R的理证明由于E(P)P=PE(P)，故E(P)P为R想，M为尺的所有完全素理想构成的集合，则的理想，从而r+E(P)P为R的理想，对于任意的8，一n(j+E(P。)P)．P∈M口bER，∈，+E(P)P．设a一n”r口一日e，其中证明假设≠N(卜}_E(P)P。)，则存在P∈Mr∈R

8、，e===”，则a”一ae．若，+E(P)P不是准素a3EEn(+E(P)P。)～．理想，则e旺I+E(P)P，bJ+E(P)P，从而eP∈ME(P)P．进一步，eP．由于(1一P)e一0EP，P为设z—r0+e1．2C