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1、第卷第期张家口师范专科学校学报从〕67%6!∀∀年#月∃%&∋()∗%+,−)(./0)1%&)3−3∋45%∗∗3.3∃&(3!∀∀23不是欧氏环的主理想环‘寇福来张家口师范专科学校,张家口,∀9:!8∀:;6<摘要介绍了一个不是欧氏环的主理想环的例子<=主理想环=欧氏环==关键词整环不可约元素元6<<一一一<∀>∀∀:!9!9!∀∀∀∀∀9中图分类号:!文献标识码?文章编号8;∀文中不加定义的术语的意义同【≅6,,,众所周知欧氏环一定是主理想环主理想环一定是唯一分解环唯一分解环一定是
2、整环,但是反过来都不一定6一般教科书上都给出了不是唯一分解环的整环、不是主理想环的唯一分解环的例子,不是欧氏环的主理想环未引入一般的教科书中6现将【!、修改如下6中提供的例子整理“6ΑΒΒΒ”我们用8;表示整环的全体单位所组成的集合8即的单位群;Β,Χ,,6定义设是一个整环〔Β且Χ尹∀Χ杯Α8Β;如果Χ的因子只有单位和Χ的相伴元,则称Χ是一个不6可约元!Β,Δ〔Β,Δ∀,Δ6),Χ,定义设是一个整环且尹彭Α8Β;如果对于任Β由刘)Χ可推出川)或叫Χ,则称Δ是一个素元6命题设Β是一个整环6Β中的素元一
3、定是不可约元6证明用反征法6设Δ是Β中的一个素元6如果Δ可约,并且Δ二)Χ,这里),Χ偌Α8川,那么由Δ是素元之故,叫)或叫Χ6不妨设川),并且)二ΕΦ8Φ任Β;,那么ΔΓ)ΧΓΕΦΧ6因Β,,ΦΧ6Χ杯ΑΒ6口为是一个整环所以由消去律Γ这与8;矛盾,6<值得注意的是命题的逆不成立看下面的一个例子例∗设,ΒΓ。ΙΧ)Χ〔Κ二Φ6Η抓不ϑϑ显然Β是一个整环6今断言Α8Β;ΓΗ士ϑ6,,,6,。〔ΑΒ。任ΒΓ∗!。!Γ&Γ)ΙΧ〔事实上如果8;则有使得二从而回Λ因为当沪巧Α8Β;时,】&ϑ!Γ。!Ι
4、:Χ!是一个整数,同样ΜΝ∗,也是一个整数,所以回!二6反之,如,。!Γ果ϑϑ即,,),Ι:Χ!Γ8)Χ〔Κ;<一一收稿Ο期!∀∀∀<河北省教育厅自然科学研究计划项签盘项目目8!∀∀!∀:;,6<寇福来8一,,作者简介:Π;男河北安折县人张家口师范专科学校教授张家口师范专科学校学报第卷那么ΧΓ%,)二士,所以此时。Γ士是Β的单位66,,Β“Γ!,我们说中满足条件ϑΘ∗的元一定是不可约元事实上因为回Γ所以Θ笋,Θ士,Θ6,Γ)ΙΧ二Θ,ΘΓ,。并且兴即忆Α8卿设了万是的一个因子且
5、界那么Η。!ϑ<ϑ!Γ6,,,)Χ十:Χ!注意到对任意整数都有护兴所以,!Γ0或6,,6!Γ。任ΑΒ=“Γ!Γ,<ΦΑΒ因此Θ如果回那么8;如果国那么同从而8;的因子只能是单位或Θ的相伴元,所以二不可约6,6,,!十根据上面的讨论是Β中的一个不可约元另一方面因为ϑ二8、左万;8!Ρ,,,,,了二万;而Λ!士了ϑ!Γ即!士训二亏是Β中的不可约元再注意到尹∀努州用不花,,与!士了瓦相伴所以士8!土了二亏;即不是素元口命题!如果Β是一个主理想环,那么Β中的每个不可约元都是素元6,,),)证
6、明设Δ是Β中的一个不可约元并且刘)Χ8)Χ〔川如果Δ寸那么Δ与互,,,素从而有。。〔Β使得)&十ΕΣΓ于是Γ。。ΙΔΧΓ二十Δ6,Χ6ΔΒ6口Χ8Ν;8)Χ;8动;注意到川)Χ所以刘因此是中的一个素元,,,6任Κ,1,Τ,现在设。。护∀并且。无平方因子8即不存在〔Κ1使得护二;<,定义Β。如下如果。三!或8Υ%ςΠ;那么Γ)ΙΧ),Χ6Μ−)Η了蔽ϑ任Κϑ,如果Υ二8Υ%ςΠ;那么二一。ΙΧ),“,)·、Η8;ϑ。Κ与‘偶性相同ϑ合而,命硒Β二是一个整环并且,Ω8侧不;Γ<Ι4Ν氛ϑ<。ΦΩϑΗ
7、是Β,的商域66,6,Β”Ξ.Ω证明显然。是一个整环设Ξ是凡的商域那么显然有8了不;反之,,,对任意的Θ二<Ι>不任Ω8了而;因为∋。任Ω所以Θ可表示为了)ΙΧ二二二而Ψ5其中),Χ,。任Κ,并且8),Χ,Φ;Γ6于是二〔Ξ6因此Ξ二Ω8Ν万五;·口6一,我们把Ω8侧不;叫做有理数域Ω上的一个二次数城瓜叫做Ω8了币;的代数整数环,对于Θ二<十4蔽〔Ω8了而;定义二的范数78幻为了78二;Γ,!一。。!6,,‘Γ<十,币;8<一4Θ,,〔注意到78Θ;8了丫币;所以对于Ω8了币;有78Θ夕;Γ78Θ;78
8、夕;·8;,命肠Π在代数整数环几Υ中,8∗;对任意二〔Β。有78Θ;任Κ=第期寇福来不是欧氏环的主理怒环!二任、Γ、Ρ8;Α8凡;当且仅当78;Ι幼Ι8瓜一,一Ρ,,8;Α8Β;ΓΗ士士坛ϑ<Α8Β;Γ土甄二二云∃=当ΥΖ认Υ并一一时Α8Β。;ΓΗ士ϑ一证明8;当二!ςΠ,Θ〔,Θ任ΒΥ6三ςΠ,二或8Υ%;时显然有78;8;下设。8Υ%;6,,[ΘΓ,。并且ΥΓΠ[Ι∀!如果盖8)ΙΧ丫而;。瓜其中与Χ
