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1、分块矩阵的应用09理学研470920622王庆权分块矩阵是矩阵的一种推广，一般矩阵的元素是数量，而分块矩阵的元索可以是数量,也可以是矩阵。分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.本文主要研究分块矩阵在计算行列式、求矩阵的秩、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵的秩的一些性质等方面的应用。首先指出以下两点事实:矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩;两个矩阵中有一个是可逆矩阵时，它们乘积的秩等于另一因子的秩;在一个分块矩阵中，若把每个块看成一个元素，则进行通常的初等变换仍不改变矩阵的秩。有了以上的说明，现在来谈分块
2、矩阵的应用.用分块矩阵计算行列式定理1设丹二'：是一个四分块阶矩阵，其中人、血、九、外分别为kA儿丿rxr,rx(n-r),(n-r)x(n一r)矩卩车，⑴若人可逆,则H=£*勺-九歼人⑵若人可逆，则
3、h
4、=
5、a4
6、*
7、ai-a2a;1a3
8、证明：现在只对(1)进行证明，(2)nJ-类似于(1)的方法证明。由分块矩阵的乘法，有(I0、72-心、o、,-佔/ygAJJ丿、0A4-A3A~iA2>两边取行列式，由于I0-佔所以A推论1设H=：勺是一个
9、H
10、分块〃阶矩阵，若A可逆，且=则14儿丿h=a{a4-a3a2；若人可逆，且A2A4=a
11、4a2,则h=a4a}-a2a3.推论2设H=1乜是一个四分块〃阶矩阵，若A可逆，且AA=AA则帆凡丿「〜h=a^a2\a.-a2 •••00—1…00兀…000…00000…x—1厂兀-1000、<00x-1000解令A=••••••••••••4=■■■000X-10,0000x丿人彳=(勺门％_],・・・，。2)，人4=X+d]那么<111xn~2XX0丄A〕=xn_1,A,"1=x00…一x)/:-1z、zanan
12、所以片
13、=
14、州*卜4—A占人卜=Xn+1+兀"2++Cln类似宦理1的证明可得。A.A.}定理2设//=
15、'7是一个四分块斤阶矩阵，其屮人、人、人、儿分别为帆码丿-rxr,rx(w-r),(n一r)x(〃一厂)矩阵,⑴若人2可逆，则
16、H
17、=(j)"Z肉
18、
19、4-(2)若人可逆,则H=(-l)r(n+,)人帆-每人
20、•推论3设丹=是一个四分块"阶炬阵，其中A、心分别为rxr,rx(n-r),(n-r)x(n-r)^1^,若爲门」逆，冃・血入=儿2%，则H=(-l)r(n+,)A2A3-A4Aj；若人可逆，且人人二4同，则
21、H
22、=(-iy(w+,)
23、A3A2-A1A4
24、oA4/•3£丿是一个四分块〃阶矩阵，其中£、血、人、外分别为rxr,rx(n-r
25、),(n一r)x(〃一厂)矩阵,若生可逆,HA2=A3.A4=i4p=A2Aj,则例2求矩阵G=1+。11的行列式,其中aiHO显=1,2,…屮o
26、h
27、=(-iy("“肉+州肉-£0•1+色解：先对G=进行加边,然后将加边的行列式的第一行乘以由结论(2)有p9D、-1加到其余各行得111…1111…101+d]1…1-1al0…0G=01AAA■■■l+Q?•••…1••••••—-1•••0。2…0••••••01▼▼▼1▼■■▼▼▼…1+色■■■-100…①Mzw00()]-1,B=0。200■■■00■■•0300由于说芒O所以B可逆,令
28、A=(1)Q=(1丄…，1),C=二卜—DB~1C\B=(1+丈丄)叩2…色。/=!°二用分块矩阵求可逆矩阵的逆矩阵A,A,}定理3设1吆是一个四分块〃阶矩阵，其中人、舛、令、儿分别为儿丿rxr,rx(«-厂)，(/?-r)x(n-r)矩阵,(1)若儿可逆，则H可逆的充分必要条件是儿-A/「人为可逆矩阵，并且其逆矩阵为:，其^K=Al-A2A；iA3证明现
29、在只对(1)进行证明，(2)可类似于(1)的方法证明。由定理1知，人可逆,则有
30、团=
31、4帆-出厝列因为
32、州H0,所以H^0的充分必要条件是
33、a4-4歼人卜0即H可逆的充分必要条件是儿-4A人为可逆矩阵。令假设A4-A3Ar%是可逆矩阵，设H」=19xj其中Xl9X29X39X4A4分别为rxr,rx(n-r),(n-r)x(n-r)矩阵,1_rA舛、‘X、x2>‘AXi+eXgAX2+A2X4、4&X4>/3X]+A4X3A3X2+A4X4>I严HH-比较上式两端相应块，得到A1X,+A2X3=Zr(1)A.X^A.X^O(2)'A3X,+
34、A4X3=0(3)A3X1+A4X4=In_r(4)111(1)得X,=A；lr-A2X.)=A'1-A-'A2X3/R入(3),得-A3A"*A2
