第二讲二次函数、方程与不等式(答案)

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1、第二讲、二次函数、方程与不等式一、明确复习目标1.掌握二次函数的图彖和性质；2.会讨论二次方程实根分布和二次不等式的解；3.会运用数形结合、分类讨论、函数与方程以及等价转化等重要的数学思想分析解决有关二次的问题。二、建构知识网络1.二次函数的三种表达式：一般式：y=ax2+/?x+c；顶点式：y=a(x-//?)2+川；零点式：y=a(x-x})(x-x2)2.二次两数y=cix2+bx+c图象抛物线的开口方向，对称轴：x=—f顶点：2a/b4ac-b2x_『厂b、4ac-h2出讪八、/b、亍b、、(,),最值：j(—)=,单•调区.间：(一°°,］,［,+°°)2a4a'2a4a2a2a

2、3.二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数吋，要按对称轴相对于区间的位置进行讨论。4.一元二次方程实根分布的讨论(1)利用函数的图象、性质；(2)利用韦达定理、判别式。三、典型例题题型1：二次函数区间最值问题例1・函数y=-x2+4x-2在区间［0,3］上的授大值是,授小值是o解：函数y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2是定义在区间［0,3］上的二次函数，其对称轴方程是x=2,顶点坐标为(2,2),H.其图彖开口向下，显然其顶点横坐标在［0,3］上,如图1所示。函数的最大值为/(2)=2,最小值为/(0)=-2o例2•如果函数/(%)=(%-1)2+1定义在区间［”+1］上

3、，求/(Q的最小值。解：函数,其对称轴方程为I，顶点坐标为(1,1),图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，冇II,此时，当I时,函数取得最小值如图2所示,若顶点横坐标在区间上吋，有时，函数取得最小值如图3所示，若顶点横朋标在区间右侧时，柯I,即IL当II吋，函数取得最小值(r-l)2+l,r>l1,0

4、,2］上的最大值为4,求实数a的值。解：/(x)=di(x+l)2+1—。，兀丘[一3,2](1)若Q=O,/(X)=l,,不符合题意。(2)若«>0,则/(心和=/(2)=%+1由8q+1=4^a=-8(3)若av0时，则/(x)max=/(-I)=-a由1—。=4,得a=—33综上知d=—或a=—383•已知函数/(x)=——+尢在区间［加,闵上的最小值是3加最大值是3/?,求2解法1:讨论对称轴"1中1与"竺空/的位置关系。2①若必心1，则卩(叽严l/Wmin=/(^)=3^解得尬=一4，«=0—卄m+n②若<1

5、<④若'55，则/Wmax=/(1)=3n/Wmin=/(〃)=3加/(^)max==3"无解/(兀)min=/⑺)=3加’U综上,m=-4,n=0解析2:由/(x)=——(x—I)2+—,,n<—,，则［m,n］c1］,2226又•.在［m,加上当兀增大时/(x)也增大所以［^(X)max"V:J(X)min=J(m)—'ll解得m=-4,n=0评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了加，斤的取值范围,避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。题型2：二次方程根分布的问题韦达定理：如果一元二次方程处‘+bx+c=0(aH0)的两个根为x,,x2,那么:例3•若舛,花

6、是方程x2+2%-2007=0的两个根，试求下列各式的值:rr11(1)x}~+x2:(2)1；(3)(Xj—5)(x2—5)；(4)—x2.X]x2分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会岀现复杂的计算.这里，可以利用韦达定理来解答.解：由题意，根据根与系数的关系得：曲+兀2=-2,兀內=-2007(1)曲2+%22=(%

7、+七尸一2%,x2=(—2)2-2(-2007)=4018(2)丄+丄==二丄x}x2xtx2-20072007(3)(兀］—5)(兀2—5)=兀［兀2—5(X(+)+25=-2007—5(-2)+25=-1972⑷Ix,-x21=7u,-^2)

8、2=丁(召+兀2)2—4兀丿2=J(-2)2_4(—2007)=4^502说明：利用根为系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：%)2+x22=(兀］+x2)2-2xjX2,丄+丄二土竺，(州一左)2=3+无)2_4兀內，x,x2x}x2xix22+x^x2=x}x2(x,+x2),昇+拧=3+兀2)'-3西兀2(西+兀2)等等.韦达定理体现了整体思想.例4•一元二次方程x2-4x+a=0^两个实根，一个比3大，一个比3