第二讲 方程与不等式

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1、第二讲方程与不等式　　方程与不等式是初中数学的基础知识，它们的应用十分广泛.方程（组）或不等式（组）的实际应用是命题的重点.现以2013年中考试题为例，把方程与不等式的常考内容归纳如下，供你复习时参考.　　考点1方程（组）解（或根）的概念　　例1（2013年牡丹江卷）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）.　　A.2018B.2008C.2014D.2012　　分析：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，∴a+b=-5，　　∴2013-a-b=2013-（a+

2、b）=2013-（-5）=2018，故选A.　　温馨小提示：方程（组）是使方程两边相等的未知数的值，即把解代入方程（组）时，方程成立.将解代入方程（组）是解决这类问题的主要方法.　　考点2解方程（组）　　例2（1）（2013年凉山卷）已知方程组2x+y=4，x+2y=5，则x+y的值为（）.　　A.-1B.0C.2D.3　　（2）（2013年宁夏卷）解方程=-1.7　　分析：（1）解二元一次方程组有两种方法：代入消元法、加减消元法，任选一种即可完成.解方程组可得x=1，y=2.故x+y=3.∴选D.　　（2）方程两边同乘以（x-2）（x+3）

3、，得6（x+3）=x（x-2）-（x-2）（x+3），　　6x+18=x2-2x-x2-x+6.化简得9x=-12，解得x=-.　　经检验，x=-是原方程的解.　　温馨小提示：解二元一次方程组是“送分”题，解方程组的根本方法是消元.解分式方程的步骤：①去分母，把分式方程化成整式方程；②求出整式方程的解；③检验；④结论.解分式方程一定要验根.　　考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系　　例3（2013年孝感卷）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2.　　（1）求实数k的取值范围；　　（2）是否存

4、在实数k使得x1?x2-x2-x2≥0成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.　　解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，∴k≤.　　∴当k≤时，原方程有两个实数根.　　（2）假设存在实数k使得x1?x2-x2-x2≥0成立.　　∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=2k+1，x1?x2=k2+2k.　　由x1?x2-x2-x2≥0，得3x1?x2-（x1+x2）2≥0.　　∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，整理得-（k-1）2≥0，　　∴只有当k=1时，上式才能成立.7　　又∵由（1）知

5、k≤，　　∴不存在实数k使得x1?x2-x2-x2≥0成立.　　温馨小提示：求一元二次方程字母系数的取值范围，通常需要利用根的判别式；求字母的值，需要利用根与系数的关系列方程.　　考点4方程（组）的应用　　例4（1）（2013年绵阳卷）朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有（）小朋友.　　A.4个B.5个C.10个D.12个　　（2）（2013年安徽卷）某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的200

6、0元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍.　　①若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；　　②若购买的两种球拍数一样，求x.　　解：（1）设有x个小朋友，由题意得，3x-3=2x+2，解得x=5.故选B.　　（2）①2000+（2000+25x）=4000+25x（元）；　　②根据题意，得=，　　解得x=±40，经检验：x=±40都是原方程的解，但x=-40不合题意，应舍去，只取x=40.7　　温馨小提示：方程（组）的应用是中考命题的重点.解题的关键是寻找等量关系.求出方程的解后，要检验解是否

7、符合实际情况.对于分式方程，还要检验它是否是增根.　　考点5不等式的性质　　例5（2013年乐山卷）若a>b，则下列不等式变形错误的是（）.　　A.a+1>b+1B.>C.3a-4>3b-4D.4-3a>4-3b　　分析：A选项正确；B选项，不等式两边同时除以2，不等号的方向不变，故>成立；C选项，不等式的两边同时乘以3，再减去4，不等号的方向不变；D选项，不等式的两边同时乘以-3，不等号的方向要改变，得-3a<-3b，在此不等式的两边同时加上4，不等号的方向不变，得4-3a<4-3b，故D选项不正确.故选D.　　温馨小提示：解这类问题容易出

8、错，注意不等式性质中“同”、“都”等关键字，当两边同除以负数时，不等号要改变方向.　　考点6不等式（组）的解集　　例6（2013年毕节卷）解不等式组2x+5≤3（x