二次函数与方程不等式的关系

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1、27.3.2二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系例题：画y=x2-4x+3的草图，回答问题(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)交点坐标与x2-4x+3=0有什么关系?(3)当x取何值时,y＜0？当x取何值时,y＞0？(4)能否用含有x的不等式来描述(3)中的问题？议一议能否利用y=ax2+bx+c(a≠0)的图象寻找一元二次方程ax2+bx+c=0的解？不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解？ax2+bx+c<0(a≠0)的解？练习1:已知y=-x2+3x+4的图象如图(1)方程-x2+3x+4=0的解是_______(

2、2)不等式-x2+3x+4>0的解集是_______(3)不等式-x2+3x+4<0的解集是_______练习2:已知y=-x2+3x+4的图象如图(1)方程-x2+3x+4=0的解是_______(2)不等式-x2+3x+4>0的解集是_______(3)不等式-x2+3x+4<0的解集是_______练习3:已知y=x2-4x+4的图象如图(1)方程x2-4x+4=0的解是_______(2)不等式x2-4x+4>0的解集是_______(3)不等式x2-4x+4<0的解集是_______练习4:已知y=x2-4x+5的图象如图(

3、1)方程x2-4x+5=0的解是_______(2)不等式x2-4x+5>0的解集是_______(3)不等式x2-4x+5<0的解集是_______规律总结：1、若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根是x1,x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是(x1,0),(x2,0)２、根据图象可求出不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点,再根据__________写出不等式的解集。结论：y=ax2+bx+c的图象与轴的交点可以用ax2+bx+c=0的根的判别式判定：△＞

4、０，抛物线与轴有２个交点△＝０，抛物线与轴有１个交点△＜０，抛物线与轴有0个交点1、已知y=ax2+x+2，当a取何值时，(1)图象与x轴有两个交点？(2)图象与x轴有一个交点?(3)图象与x轴无交点？2、已知二次函数y=ax2-ax+3x+1的图象的最低点在x轴上，求a的值3、已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A(a,0),B(b,0),且a2+b2=17,求k的值回顾与反思：二次函数的图象与x轴有无交点问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，可从计算根的判别式入手3、已知二次函数y=x2+mx+m-2.

5、求证：无论m取何值，抛物线总与x轴有两个交点。4、已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2.(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数顶点在x轴下方？(3)当实数k在何范围取值时，函数顶点在第四象限内？例1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。例2.已知二次函数（1）判别上述抛物线与X轴交点情况（2）设抛物线与X轴交点之间距离为，求k的值练习：已知二次函数y=kx2－6x－7的图像与x轴有两个不同的交点（1

6、）求k的取值范围（2）当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50例3设二次函数y=－x2+(m－2)x+3(m+1)的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于C点，线段OA与OB的长的积等于6（O是坐标原点）求：m的值3、已知二次函数y=x2-kx-2+k.(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。(2)k为何值时,二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点A、B之间的距离最小？（3）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC.4、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴

7、有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴，B在x轴的负半轴，1）若OA=3OB，求m的值。2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。例4如图，抛物线y=ax2+bx+c和X轴的正半轴相交于A，B两点，和y轴相交于点C∠ABC=∠ACO求证：a与c互为倒数5、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．1、求抛物线的解析式．2、求两盏景观灯之间的

8、水平距离．5110?在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?三、基础练习1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上