02第二讲 函数与方程(答案)

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1、第二讲函数与方程A:题型一判断给定函数有无零点以及零点个数的确定1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］；（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1，2］；（3）f(x)=log2(x+2)-x,x∈［1，3］.解（1）方法一因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x2-3x-18，x∈［1，8］存在零点.方法二令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,所以函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1，8］存在零点.（2）∵f（-1）=-1＜0,f(2)=5＞0,∴f（x）=x3

2、-x-1，x∈［-1，2］存在零点.（3）∵f（1）=log2（1+2）-1＞log22-1=0.f(3)=log2(3+2)-3＜log28-3=0.∴f（1）·f（3）＜0故f(x)=log2(x+2)-x在x∈［1，3］上存在零点.2.求下列函数的零点：(1)y=x3-7x+6;(2)y=x+-3.解（1）∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0可得x1=-3,x2=1,x

3、3=2.∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.(2)∵x+解x+即=0,可得x=1或x=2.∴函数y=x+-3的零点为1，2.（3）；（4）（5）（6）（7）（8）（9）2.（1）求函数的零点的个数；答案1（2）求函数的零点的个数；（3）求函数的零点的个数；（4）求方程在区间[-1，3]内至少有几个实数解；7（5）求函数在[0，2]上的零点的个数；（6）方程在[1，5]内的实数解至少有多少个？题型二一元二次方程根的分布，或二次函数零点问题1.（1）若函数没有零点，求实数a的取值范围；（2）若方程只有一个解，求a的取值范围；（3）函数的一个零点在原点，求m的值；（

4、4）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；解（1）若a=0，则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意；若a≠0，则f(x)=ax2-x-1是二次函数，故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0，解得a=-，综上所述a=0或a=-.2.一元二次方程根的分布问题（1）关于的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围；（2）关于的方程有两个实根，在[1，3]之外，求的取值范围；（3）关于的方程有两个实根，在[0，4）内，求的取值范围；（4）关于的方程有两个实根，在[0，4）内，求的取值范围；（5）若方程在（0，1

5、）内恰有一个解，求a的取值范围；（6）判定方程有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。（7）若方程的两个根都大于2，求m的取值范围；（8）关于x的方程有且仅有一根在[-1，1]内，求m的取值范围；（9）关于x的方程两个不同的实根均在[-1，1]内，求m的取值范围；（10）关于x的方程两个负根，求k的取值范围；7（11）若函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值围；3.（1）若函数的两个零点是2和-4，求的a，b的值；（2）若函数有一个零点是2，求函数的零点；（3）若函数的两个零点是2和3，求函数的零点；答案-，-（4）关于x的实系数方程x2-ax+2b=0的一根在区间［0，1］

6、上，另一根在区间［1，2］上，则2a+3b的最大值为.答案9（2）若函数f(x)=

7、4x-x2

8、+a有4个零点，求实数a的取值范围.解:（2）若f(x)=

9、4x-x2

10、+a有4个零点，即

11、4x-x2

12、+a=0有四个根，即

13、4x-x2

14、=-a有四个根.8分令g(x)=

15、4x-x2

16、,h(x)=-a.作出g(x)的图象，由图象可知如果要使

17、4x-x2

18、=-a有四个根，那么g(x)与h（x)的图象应有4个交点.12分故需满足0＜-a＜4,即-4＜a＜0.∴a的取值范围是（-4,0）.题型三用二分法求函数的零点1.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标

19、的是　　　　　（填序号）.答案①③2.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1，1.5］内的一个零点（精确度0.1）.解由于f(1)=1-1-1=-1＜0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875＞0,∴f(x)在区间［1，1.5］上存在零点，取区间［1，1.5］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端（中）点坐标中点函数值符号零点所在区间

20、an-bn

21、0.51.25f(1.25)＜00.251.375f(1.375)＞