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1、清华附中自主招生辅导讲义9/18/2021第二讲函数与方程一、基础知识1.函数的性质2.函数的最值3.函数的迭代4.函数的零点与不动点5.方程的根及根与系数关系6.简单的函数方程二、典型例题1.(2007年北京大学)设函数,求.答案:6602.(2008年复旦大学)设是的三个根,则行列式=.答案:03.(2004年上海交大)已知,若,则求的值.答案:4.(2010年江苏五校)已知函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值．（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）能
2、否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的结论;（Ⅲ）设使关于x的方程f(x)＝λ2x2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤
3、x1－x2
4、对任意t∈[－3，3],λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）∵函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5,∴c＝－5.∵函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减,∴x＝1时取得极大值，又当x＝0，x＝2时函数f(x)取得极小值．∴x＝0，x＝1，x＝2为函数f
5、(x)的三个极值点，即f'(x)＝0的三个根为0，1，2，∴f'(x)＝4x3＋3ax2＋2bx＝4x(x－1)(x－2))＝4x3－12x2＋8x.∴a＝－4，b＝4,∴函数f(x)的解析式：f(x)＝x4－4x3＋4x2－5.（Ⅱ）解：若函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为x＝t,则f(t+x)＝f(t－x)对x∈R恒成立.即:(t+x)4－4(t+x)3＋4(t+x)2－5＝(t－x)4－4(t－x)3＋4(t－x)2－5.4清华附中自主招生辅导讲义9/18/2021化简得(t－1)x3+(t2－3t+2)x＝0对x∈R恒成立.∴∴t＝1即
6、函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x＝1.（Ⅲ）解：x4－4x3＋4x2－5＝λ2x2－5恰好有三个不同的根，即x4－4x3＋4x2－λ2x2=0恰好有三个不同的根,即x2（x2－4x＋4－λ2）＝0，∵x＝0是一个根，∴方程x2－4x＋4－λ2＝0应有两个非零的不相等的实数根，∴△＝16－4(4－λ2)＝4λ2>0，且x1x2＝4－l2≠0，∴l≠0，－2，2．若存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤
7、x1－x2
8、对任意t∈[－3，3],λ∈A恒成立.∵
9、x1－x2
10、＝＝2
11、l
12、＞0，要使m2＋tm＋2≤
13、x1－x2
14、对任意t∈[－3，3],λ∈A恒成立,只
15、要m2＋tm＋2≤0对任意t∈[－3，3]恒成立,令g(t)＝tm+m2＋2,则g(t)是关于t的线性函数.∴只要解得∴不存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤
16、x1－x2
17、对任意t∈[－3，3],λ∈A恒成立.5.(2008年上海交大)已知函数,且没有实根,试判断是否有实根?说明理由.答案:没有6.(2002年上海交大)已知函数,有且.(1)求满足的关系;答案:(2)证明:存在这样的,使.7.(2005年上海交大)已知的三根分别为,并且为不全为0的有理数,求的值.答案:8.(2006年清华大学)已知函数满足:对任意实数有,且,求证:恒为零.(可以用结论:若,
18、则)9.(2000年上海交大)若函数满足,求函数的解析式.答案:10.LetN={0,1,2,…..}.DetermineallfunctionsN→N,suchthat4清华附中自主招生辅导讲义9/18/2021forallandinN（Note:TheanswercanbeinChinese.）原题：设N={0,1,2,…..}，求所有的N→N，使得对任意，均有提示：设有，则即，因为易得：三、针对性训练1.(2005年复旦大学)定义在R上的函数满足,则.答案:2.(2004年同济大学)求函数的最大值与最小值.答案:3.(2009年清华大学)已知是三次项系数
19、为的三次函数,并且有的解集为.(1)若仅有一解,求的解析式;答案:(2)若在单调增,求实数的取值范围.答案:4.已知,若为正整数,求的最小值.答案:31215.(2008年清华大学)已知,求的解析式.答案:6.(35届IMO)设S是所有大于-1的实数集组成的集合,确定所有的函数满足条件:(1)对于S中所有,有;(2)在区间和内,是严格递增的.4清华附中自主招生辅导讲义9/18/2021答案:4
