2019秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程练习（含解析）新人教A版

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1、2.2.1椭圆及其标准方程A级　基础巩固一、选择题1．在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是(　　)A.＋＝1　　　　B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)答案：D2．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)A．4　B．5　C．7D．8解析：焦距为4，则m－2－(10－m)＝，所以m＝8.答案：D3．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是(　　)A．x2＋y2＝3B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0)D．x2＋y2＝9(x≠0)

2、解析：易知BC中点D即为原点O，所以

3、OA

4、＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.答案：C4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C5．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)A.B.C.D.解析：由·＝0，得MF1⊥MF2，可设

5、

6、＝m，

7、

8、＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所

9、以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，所以S△F1MF2＝·mn＝1，设点M到x轴的距离为h，则×

10、F1F2

11、×h＝1，又

12、F1F2

13、＝2，故h＝.答案：C二、填空题6．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是________．解析：由题意知a2－2＝4，所以a2＝6.所以所求椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝17．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为________．解析：由题意，得

14、PF1

15、＋

16、PF2

17、＝14，①

18、PF1

19、2＋

20、PF2

21、2＝4c2＝100，②由①②得

22、PF1

23、·

24、PF2

25、＝48，所以S△PF1

26、F2＝

27、PF1

28、·

29、PF2

30、＝24.答案：248．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．解析：由题意知，

31、AC

32、＝8，

33、AB

34、＋

35、BC

36、＝10.所以＝＝＝.答案：三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c＝2且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2

37、)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.10．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且

38、MD

39、＝

40、PD

41、.当P在圆上运动时，求点M的轨迹的方程．解：设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且

42、MD

43、＝

44、PD

45、，所以xP＝x，且yP＝y.因为P在圆x2＋y2＝25上，所以x2＋＝25，整理得＋＝1，即点M的轨迹方程是＋＝1.B级　能力提升1．设F1，F2是椭圆＋＝1

46、的两个焦点，P是椭圆上的点，且

47、PF1

48、∶

49、PF2

50、＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)A．5B．4C．3D．1答案：B2．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m

51、PF1

52、·

53、PF2

54、的最大值．解：(1)由椭圆的定义可知，

55、PF1

56、＋

57、PF2

58、＝20，①在△PF1F2中，由余弦定理，得

59、F1F2

60、2＝

61、PF1

62、2＋

63、PF2

64、2－2

65、PF1

66、·

67、PF2

68、·cos∠F1PF2，即

69、122＝

70、PF1

71、2＋

72、PF2

73、2－

74、PF1

75、

76、PF2

77、.②①2－②，并整理，得

78、PF1

79、·

80、PF2

81、＝.所以S△PF1F2＝

82、PF1

83、·

84、PF2

85、·sin＝.(2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6.所以

86、PF1

87、＋

88、PF2

89、＝20，所以

90、PF1

91、·

92、PF2

93、≤＝100.当且仅当

94、PF1

95、＝

96、PF2

97、＝10时，等号成立．所以

98、PF1

99、·

100、PF2

101、的最大值是100.