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时间:2019-09-25
《2019秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程练习(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.1双曲线及其标准方程A级 基础巩固一、选择题1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( )A. B.C.D.(,0)解析:将双曲线方程化成标准方程为-=1,所以a2=1,b2=,所以c==,故其右焦点坐标为.答案:C2.若方程+=1表示双曲线,则k的取值范围是( )A.(5,10)B.(-∞,5)C.(10,+∞)D.(-∞,5)∪(10,+∞)解析:由题意得(10-k)(5-k)<0,解得52、-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:由题意得c=5,=,所以a=4,则b2=c2-a2=25-16=9.所以双曲线的标准方程为-=1.答案:C4.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是( )A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析:据已知条件得焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=5.①因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,得-=1.②由①②解得a2=13、,b2=4,所以所求双曲线的方程为x2-=1.答案:B5.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则4、PF5、+6、PA7、的最小值为( )A.5B.5+4C.7D.9解析:如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程,得8、PF9、-10、PE11、=4,则12、PF13、+14、PA15、=4+16、PE17、+18、PA19、.由图可得,当A,P,E三点共线时,(20、PE21、+22、PA23、)min=24、AE25、=5,从而26、PF27、+28、PA29、的最小值为9.答案:D二、填空题6.设m是大于0的常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦30、点,则m=________.解析:由题意可知m+9=25,所以m=16.答案:167.双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P到F1的距离为12,则点P到F2的距离为________.解析:因为31、32、PF233、-1234、=2a=10,所以35、PF236、=12±10,即37、PF238、=2或39、PF240、=22.答案:2或228.若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线交右支于A、B两点,若41、AB42、=5,则△AF1B的周长为________.解析:由双曲线定义可知43、AF144、=2a+45、AF246、=4+47、AF248、;49、BF50、151、=2a+52、BF253、=4+54、BF255、,所以56、AF157、+58、BF159、=8+60、AF261、+62、BF263、=8+64、AB65、=13.△AF1B的周长为66、AF167、+68、BF169、+70、AB71、=18.答案:18三、解答题9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;(2)经过两点(3,-4),;(3)与椭圆+=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4.解:(1)由题意得双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).因为a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,代入方程得,所以b2=16.所以72、所求双曲线的标准方程为-=1.(2)设所求双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),把(3,-4),代入得解得所以所求双曲线的标准方程为-=1.(3)椭圆+=1的两个焦点坐标分别为F1(0,-3),F2(0,3).由已知得双曲线与椭圆的交点坐标为(±,4),设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得a2=4,b2=5.所以所求双曲线的标准方程为-=1.10.已知k为实常数,命题p:方程(k-1)x2+(2k-1)y2=(2k-1)(k-1)表示椭圆,命题q:方程(k-3)x2+4y2=4(k-3)表示双曲线.(1)若命73、题p为真命题,求实数k的取值范围;(2)若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数k的取值范围.解:(1)若命题p为真命题,则解得k>1,即实数k的取值范围是(1,+∞).(2)当p真q假时,解得k≥3,当p假q真时,解得k≤1,故实数k的取值范围是(-∞,1]∪[3,+∞).B级 能力提升1.k<2是方程+=1表示双曲线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:k<2⇒方程+=1表示双曲线,而方程+=1表示双曲线⇒(4-k)(k-2)<0⇒k<2或k>4,故k<2是方程+=1表示双曲线的充74、分不必要条件.答案:A2.已知双曲线-=1上一点P到F(3,0)的距离为6,O为坐标原点,若=(+),则75、76、的值为________.解析:由题意得Q为PF的中点,设左焦点为F′,其坐标为(-3,0),所以77、OQ78、=79、PF′80、.若P在双
2、-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:由题意得c=5,=,所以a=4,则b2=c2-a2=25-16=9.所以双曲线的标准方程为-=1.答案:C4.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是( )A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析:据已知条件得焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=5.①因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,得-=1.②由①②解得a2=1
3、,b2=4,所以所求双曲线的方程为x2-=1.答案:B5.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则
4、PF
5、+
6、PA
7、的最小值为( )A.5B.5+4C.7D.9解析:如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程,得
8、PF
9、-
10、PE
11、=4,则
12、PF
13、+
14、PA
15、=4+
16、PE
17、+
18、PA
19、.由图可得,当A,P,E三点共线时,(
20、PE
21、+
22、PA
23、)min=
24、AE
25、=5,从而
26、PF
27、+
28、PA
29、的最小值为9.答案:D二、填空题6.设m是大于0的常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦
30、点,则m=________.解析:由题意可知m+9=25,所以m=16.答案:167.双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P到F1的距离为12,则点P到F2的距离为________.解析:因为
31、
32、PF2
33、-12
34、=2a=10,所以
35、PF2
36、=12±10,即
37、PF2
38、=2或
39、PF2
40、=22.答案:2或228.若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线交右支于A、B两点,若
41、AB
42、=5,则△AF1B的周长为________.解析:由双曲线定义可知
43、AF1
44、=2a+
45、AF2
46、=4+
47、AF2
48、;
49、BF
50、1
51、=2a+
52、BF2
53、=4+
54、BF2
55、,所以
56、AF1
57、+
58、BF1
59、=8+
60、AF2
61、+
62、BF2
63、=8+
64、AB
65、=13.△AF1B的周长为
66、AF1
67、+
68、BF1
69、+
70、AB
71、=18.答案:18三、解答题9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;(2)经过两点(3,-4),;(3)与椭圆+=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4.解:(1)由题意得双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).因为a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,代入方程得,所以b2=16.所以
72、所求双曲线的标准方程为-=1.(2)设所求双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),把(3,-4),代入得解得所以所求双曲线的标准方程为-=1.(3)椭圆+=1的两个焦点坐标分别为F1(0,-3),F2(0,3).由已知得双曲线与椭圆的交点坐标为(±,4),设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得a2=4,b2=5.所以所求双曲线的标准方程为-=1.10.已知k为实常数,命题p:方程(k-1)x2+(2k-1)y2=(2k-1)(k-1)表示椭圆,命题q:方程(k-3)x2+4y2=4(k-3)表示双曲线.(1)若命
73、题p为真命题,求实数k的取值范围;(2)若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数k的取值范围.解:(1)若命题p为真命题,则解得k>1,即实数k的取值范围是(1,+∞).(2)当p真q假时,解得k≥3,当p假q真时,解得k≤1,故实数k的取值范围是(-∞,1]∪[3,+∞).B级 能力提升1.k<2是方程+=1表示双曲线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:k<2⇒方程+=1表示双曲线,而方程+=1表示双曲线⇒(4-k)(k-2)<0⇒k<2或k>4,故k<2是方程+=1表示双曲线的充
74、分不必要条件.答案:A2.已知双曲线-=1上一点P到F(3,0)的距离为6,O为坐标原点,若=(+),则
75、
76、的值为________.解析:由题意得Q为PF的中点,设左焦点为F′,其坐标为(-3,0),所以
77、OQ
78、=
79、PF′
80、.若P在双
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