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《2019秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.3空间向量的数量积运算A级 基础巩固一、选择题1.对于a,b,c向量和实数λ,下列命题中的真命题是( )A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c答案:B2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么
2、a+3b
3、=( )A.13 B. C.2D.解析:
4、a+3b
5、====.答案:B3.若a与a+2b的数量积为6,且
6、a
7、=2,
8、b
9、=1,则向量a与b之间的夹角为( )A.B.C.πD.π答案:B4.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·
10、=0,M为BC中点,则△AMD是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定答案:C5.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,
11、a
12、=2,
13、b
14、=3,
15、c
16、=4,则a与b的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.以上都不对答案:D二、填空题6.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,
17、a
18、=3,
19、b
20、=1,
21、c
22、=4,则a·b+b·c+c·a的值为________.解析:因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-=-13.答案:-137.已知
23、a
24、
25、=3,
26、b
27、=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,m⊥n,则λ=________.解析:由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,所以a2+(1+λ)a·b+λb2=0,所以18+(λ+1)·3×4cos135°+16λ=0,即4λ+6=0,所以λ=-.答案:-8.已知向量a与b的夹角为135°,且
28、a
29、=
30、b
31、=4,则a·(2a-b)=________.解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2×42-4×4·cos135°=32+8答案:32+8三、解答题9.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠BAD=120°,PA⊥平面
32、ABCD,PA=6.求PC的长.解:因为=++,所以
33、
34、2=·=(++)2=
35、
36、2+
37、
38、2+
39、
40、2+2·+2·+2·=62+42+32+2·
41、
42、·
43、
44、·cos120°=49.所以
45、
46、=7,故PC的长为7.10.如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.(1)证明:=+,=+.因为BB1⊥平面ABC,所以·=0,·=0.又△ABC为正三角形,所以〈,〉=π-〈,〉=π-=.因为·=(+)·(+)=·+·+2+·=
47、
48、·
49、
50、·cos〈·〉+2=-1+1=0,所以AB1⊥BC
51、1.(2)解:结合(1)知·=
52、
53、·
54、
55、·cos〈,〉+2=2-1.又
56、
57、===
58、
59、,所以cos〈,〉==.所以
60、
61、=2,即侧棱长为2.B级 能力提升1.已知空间向量a,b,c,两两夹角为60°,其模都为1,则
62、a-b+2c
63、=( )A.B.5C.6D.解析:因为
64、a
65、=
66、b
67、=
68、c
69、=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,所以a·b=b·c=a·c=,a2=b2=c2=1.所以
70、a-b+2c
71、=====.答案:A2.已知
72、a
73、=2,
74、b
75、=1,〈a,b〉=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________.解析:由题
76、意知即⇒λ2+2λ-2<0.所以-1-<λ<-1+.答案:(-1-,-1+)3.在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中,E,F分别是D′D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C′G的中点.(1)求EF,C′G所成角的余弦值;(2)求FH的长.解:设=a,=b,=c,则a·b=b·c=c·a=0,
77、a
78、2=a2=1,
79、b
80、2=b2=1,
81、c
82、2=c2=1.(1)因为=+=-c+(a-b)=(a-b-c),=+=-c-a,所以·=(a-b-c)·=(-a2+c2)=,
83、
84、2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,
85、
86、2==c2+a2=,所以
87、
88、=,
89、
90、
91、=,cos〈,〉==,所以EF,C′G所成角的余弦值为.(2)因为=+++=(a-b)+b+c+=(a-b)+b+c+=a+b+c,所以
92、
93、2==a2+b2+c2=,所以FH的长为.