高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析

《高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3．1.3　空间向量的数量积运算空间向量的夹角[提出问题]如图所示，已知平面向量a，b.问题1：试作出向量a，b的夹角．提示：如图，∠AOB为a和b的夹角．问题2：若a，b为空间非零向量，两向量还有夹角吗？若有，试作出．提示：有；在空间取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB为两向量的夹角．[导入新知]如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.[化解疑难]1．由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π.2．对空间任意两个非零向量a，b，有：15(1)〈a，b〉

2、＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；(2)〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉.空间向量的数量积[提出问题]问题1：平面向量的数量积a·b是怎样定义的？提示：a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉．问题2：类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间向量数量积定义吗？提示：能，a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉．问题3：空间向量数量积运算满足交换律和分配律吗？提示：满足．[导入新知]1．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

11、a

12、

13、b

14、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

15、即a·b＝

16、a

17、

18、b

19、cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量数量积的性质序号性质(1)a·e＝

20、a

21、cos〈a，e〉(其中e为单位向量)(2)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0(3)a·a＝

22、a

23、2或

24、a

25、＝＝(4)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝(5)

26、a·b

27、≤

28、a

29、

30、b

31、(当且仅当a，b共线时等号成立)[化解疑难]1．向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.2．向量的数量积

32、的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.3．向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c15＝a·(b·c)都不成立．空间向量的数量积的运算[例1]　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：(1)·；(2)·；(3)·.[解]　(1)·＝·＝

33、

34、

35、

36、·cos〈，〉＝cos60°＝.(2)·＝·＝

37、

38、2＝.(3)·

39、＝·(－)＝·－·＝

40、

41、

42、

43、cos〈，〉－

44、

45、

46、

47、cos〈，〉＝cos60°－cos60°＝0.[类题通法]求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60°，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值．[活学活用]如图所示，已知正四面体OABC的棱长为a，求：(1)·；(2)(＋)·(＋)．解：(1)·＝a×a×cos60°＝a2.15(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝a2＋a2cos60°－2a2cos60°＋a2cos60°

48、＋a2－2a2cos60°＝a2.利用空间向量的数量积求夹角[例2]　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求与夹角的大小．[解]　不妨设正方体的棱长为1，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋2＋·＋·＝0＋2＋0＋0＝2＝1，又∵

49、

50、＝，

51、

52、＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.∴与夹角的大小为.[类题通法](1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合转化为求平面中的角的大小．(2)由两个向量的数量积定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转

53、化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值．[活学活用]15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．解：∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，∴·＝－＝－1.又∵

54、

55、＝，

56、

57、＝＝，∴cos〈，〉＝＝＝－，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.利用空间向量的数量积证明垂直[例3]　已知空间四边形ABCD中，AB⊥C

58、D，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.[证明]　∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴·＝0，·＝0.∴·＝(＋)·(－)＝·＋·－－·＝·－－·＝·(－－)＝·＝0.∴⊥，从而AD⊥BC.[类题通法]当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位