2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习新人教A版

《2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.1.3　空间向量的数量积运算1.下列命题中,不正确的有(　D　)①=

2、a

3、;②m(λa)·b=(mλ)a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a.(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析:①②③正确,④不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同.故选D.2.正方体ABCDA′B′C′D′中,<,>等于(　D　)(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°解析:因为B′D′∥BD,所以A′B,B′D′的夹角即为A′B,BD的夹角.因为△A′BD为正三角形,所以∠A′BD=60°.由向

4、量夹角的定义可知<,>=120°,即<,>=120°.故选D.3.若a,b均为非零向量,则a·b=

5、a

6、

7、b

8、是a与b共线的(　A　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件解析:若a·b=

9、a

10、

11、b

12、,则=0°,所以a与b共线;反之,若a与b共线,则=0°或180°,a·b=±

13、a

14、

15、b

16、.故选A.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=3;②·(-)=0;③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是(　B　)(A)1(B)2(C)3(D)0解析:①,②均正确;③

17、不正确,因为与夹角为120°.5.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　B　)(A)-(B)(C)(D)解析:如图,由图知直线AM与CN所成角等于<,>,=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=,

18、

19、===,

20、

21、==.所以cos<,>===.6.已知

22、a

23、=1,

24、b

25、=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　D　)(A)60°(B)30°(C)135°(D)45°解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b=

26、a

27、2-

28、a

29、·

30、b

31、·

32、cos=1-1··cos=0,所以cos=.因为0°≤≤180°,所以=45°.7.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是(　A　)(A)与(B)与(C)与(D)与解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0,排除D;因为AD⊥AB,PA⊥AD,又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,故·=0,排除B;同理·=0,排除C.故选A.8.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题:①(

33、a·b)c-(c·a)b=0;②

34、a

35、-

36、b

37、<

38、a-b

39、;③(b·a)c-(c·a)b一定不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9

40、a

41、2-4

42、b

43、2.其中正确的是(　D　)(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④解析:根据向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b不一定相等,故①错误;③因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故③错误;易知

44、②④正确.故选D.9.已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,如图,则PC等于　　　　. 解析:因为=++,所以

45、

46、2=(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+0+0+2

47、

48、

49、

50、cos60°=108+2×6×6×=144.所以PC=12.答案:1210.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是　　　　. 解析:=++,所以·=·(++)=

51、

52、2=1,所以cos<,>==,所以异面直线a,b所成角是60°.答案:60°11.设

53、m

54、=1,

55、n

56、=

57、2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则向量a,b的夹角=　　　 解析:因为(2m+n)⊥(m-3n),所以(2m+n)·(m-3n)=0.化简得m·n=-2,又

58、a

59、====6.

60、b

61、====3.所以a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28

62、m

63、2-2

64、n

65、2+m·n=18.所以cos===1.所以=0°答案:0°12.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角都是60°,则对角线AC1的长是　　　　. 解析:设=a,=b,=c,则a2=b2=c2=1,

66、所以a·b=a·c=b·c=

67、a

68、2cos60°=,所以=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2b·c+2a