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《2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.3 空间向量的数量积运算1.下列命题中,不正确的有( D )①=
2、a
3、;②m(λa)·b=(mλ)a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a.(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析:①②③正确,④不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同.故选D.2.正方体ABCDA′B′C′D′中,<,>等于( D )(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°解析:因为B′D′∥BD,所以A′B,B′D′的夹角即为A′B,BD的夹角.因为△A′BD为正三角形,所以∠A′BD=60°.由向
4、量夹角的定义可知<,>=120°,即<,>=120°.故选D.3.若a,b均为非零向量,则a·b=
5、a
6、
7、b
8、是a与b共线的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件解析:若a·b=
9、a
10、
11、b
12、,则=0°,所以a与b共线;反之,若a与b共线,则=0°或180°,a·b=±
13、a
14、
15、b
16、.故选A.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=3;②·(-)=0;③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( B )(A)1(B)2(C)3(D)0解析:①,②均正确;③
17、不正确,因为与夹角为120°.5.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为( B )(A)-(B)(C)(D)解析:如图,由图知直线AM与CN所成角等于<,>,=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=,
18、
19、===,
20、
21、==.所以cos<,>===.6.已知
22、a
23、=1,
24、b
25、=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( D )(A)60°(B)30°(C)135°(D)45°解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b=
26、a
27、2-
28、a
29、·
30、b
31、·
32、cos=1-1··cos=0,所以cos=.因为0°≤≤180°,所以=45°.7.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是( A )(A)与(B)与(C)与(D)与解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0,排除D;因为AD⊥AB,PA⊥AD,又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,故·=0,排除B;同理·=0,排除C.故选A.8.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题:①(
33、a·b)c-(c·a)b=0;②
34、a
35、-
36、b
37、<
38、a-b
39、;③(b·a)c-(c·a)b一定不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9
40、a
41、2-4
42、b
43、2.其中正确的是( D )(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④解析:根据向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b不一定相等,故①错误;③因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故③错误;易知
44、②④正确.故选D.9.已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,如图,则PC等于 . 解析:因为=++,所以
45、
46、2=(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+0+0+2
47、
48、
49、
50、cos60°=108+2×6×6×=144.所以PC=12.答案:1210.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是 . 解析:=++,所以·=·(++)=
51、
52、2=1,所以cos<,>==,所以异面直线a,b所成角是60°.答案:60°11.设
53、m
54、=1,
55、n
56、=
57、2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则向量a,b的夹角= 解析:因为(2m+n)⊥(m-3n),所以(2m+n)·(m-3n)=0.化简得m·n=-2,又
58、a
59、====6.
60、b
61、====3.所以a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28
62、m
63、2-2
64、n
65、2+m·n=18.所以cos===1.所以=0°答案:0°12.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角都是60°,则对角线AC1的长是 . 解析:设=a,=b,=c,则a2=b2=c2=1,
66、所以a·b=a·c=b·c=
67、a
68、2cos60°=,所以=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2b·c+2a